Questões Militares Para cmc

O spinner (“girador de mão”) é um brinquedo que as crianças adoram. Consiste num dispositivo giratório composto de um rolamento que fica no centro desse dispositivo que é feito geralmente de plástico. Ana Luíza resolveu construir um spinner cujo contorno tem um formato poligonal. Para isso, inicialmente criou um molde numa folha de papel, conforme as etapas a seguir:

Etapa 1: ela construiu um triângulo equilátero de vértices A, B e C, cujos lados têm comprimentos iguais a 10 cm. Para representar o rolamento, desenhou uma região circular interna no triângulo. Veja a Figura 1 ao lado.

 

Etapa 2: partindo do triângulo equilátero de vértices A, B e C, construído na Etapa 1, Ana Luíza dividiu cada lado dele em três partes iguais, construindo, externamente, sobre a parte central de cada lado, um triângulo equilátero menor, cujos lados têm comprimentos iguais a 10 3 cm e, em seguida, apagou essa parte central. Por exemplo, observe na Figura 2 ao lado: o segmento AB (lado do triângulo ABC) foi divido pelos pontos D e E em três partes iguais e sobre a parte central, DE, foi construído o triângulo equilátero menor de vértices D, E e F. Em seguida, ela apagou o segmento DE (parte central). Depois, repetiu o processo para os outros dois lados do triângulo de vértices A, B e C.

Nas etapas seguintes são construídos novos polígonos sempre dessa mesma forma: partindo do polígono construído na etapa anterior, divide-se cada lado em três partes iguais e constrói-se, externamente, sobre a parte central de cada lado, um triângulo equilátero menor e, em seguida, apaga-se essa parte central. Veja na Figura 3, ao lado, como ficou o molde do spinner da Ana Luíza após realizar o procedimento até a Etapa 5.

Determine, em centímetros (cm), o perímetro do polígono construído na Etapa 5.

Os amigos Roberto, Bruno, Lucas e Fernando se reuniram para jogar bolinha de gude. Sabe-se que cada um tinha uma certa quantidade de bolinhas e combinaram que, ao final de cada partida, o perdedor retiraria da sua quantidade de bolinhas um número suficiente para dobrar a quantidade de bolinhas que cada um dos outros possuía no início de cada partida. Jogaram 4 partidas e ficaram em último lugar na 1ª, 2ª, 3ª e 4ª partidas, respectivamente, Roberto, Bruno, Lucas e Fernando. Se no final da 4ª partida cada um ficou com 32 bolinhas, então no início da 1ª partida Roberto possuía:

Carl Friedrich Gauss foi um grande matemático que começou a demonstrar sua genialidade desde criança. Quando ele tinha 10 anos seu professor pediu para a turma que calculasse a soma dos números naturais desde 1 até 100, e, em poucos minutos, Gauss deu o resultado correto deixando seu professor espantado. O professor conferiu os cálculos e verificou que Gauss havia acertado. Pediu-lhe então que explicasse como havia feito as contas de forma tão rápida. Gauss disse que observou que na soma de 1 a 100, somando-se o primeiro número ao último (1+100), o segundo ao penúltimo (2+99), o terceiro ao antepenúltimo (3+98) e assim sucessivamente, aparecem 50 pares cuja soma é igual a 101. Assim sendo:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 50 x 101 = 5050.

Esse raciocínio pode ser empregado para calcular outras somas, como, por exemplo, a soma:
1 + 3 + 5 + ... + 2015 + 2017 + 2018.

Essa última expressão representa a soma de todos os números naturais ímpares desde 1 até 2017, acrescida de 2018. O valor dessa expressão é:

Se a fração irredutível a/b é equivalente ao inverso do número 575/975 , então o resto da divisão do número por 5 é igual a:

Todos os anos, no âmbito do Sistema Colégio Militar do Brasil realizam-se os Jogos da Amizade, cujo objetivo principal é buscar, desde cedo, o desenvolvimento de habilidades e talentos individuais e coletivos, procurando associar o esporte e a arte à melhoria da qualidade de vida. No ano de 2099, será realizado o nonagésimo nono Jogos da Amizade. Já é tradição que a solenidade de abertura ocorra na primeira segunda-feira do mês de julho. Neste ano, por exemplo, ocorreu no dia 2 de julho de 2018. Considerando que entre 2018 e 2099 todos os anos que são múltiplos de 4 têm 366 dias, em qual dia do mês de julho de 2099 ocorrerá a solenidade de abertura do nonagésimo nono Jogos da Amizade?