Questões Militares Para estatística

Considere um estudo cujo objetivo era avaliar a correspondência entre a idade (x, expressa em anos) e uma medida de pressão arterial sistólica (y, expressa em mmHg) para um conjunto de pacientes. Para isto, foi ajustado via MV o seguinte modelo de regressão linear simples: 
y_i = β₀ + β₁ x_i + e_i ,i = 1, …,5,

em que e₁ , e₂ , e₃ , e₄ , e₅ correspondem a uma amostra aleatória de uma distribuição normal de média zero e variância σ² . Os estimadores dos parâmetros de regressão, foram determinados por meio de método de máxima verossimilhança e posteriormente os valores ajustados  foram obtidos para cada um dos 5 pacientes da amostra. O pesquisador perdeu os dados originais de forma que as únicas informações disponíveis constam na tabela a seguir. O valor substituído por ? ficou ilegível depois que o responsável pelo estudo derramou vinho sobre ele


Pode-se concluir que o valor substituído por ? é igual a:

Considere X uma variável aleatória em que sua função geradora de momentos é dada por:


É correto afirmar que a média e a variância de Y = µ + σX são dadas respectivamente por

O Estatístico frequentemente precisa construir medidas resumo por nível de um fator. Por exemplo, com uma base de dados de alunos de diversas escolas, um dos objetivos é construir uma base em que cada linha contém as medidas de cada escola, como média e desvio-padrão. Considerando um data.frame com 2 colunas, contendo o Código da Escola (CODESC) e a NOTA, o comando que produz essa base pode ser obtido por: 

Uma variável contínua pode ser categorizada de diversas formas, inclusive com transformações. Considerando uma variável NOTA do ENEM, basicamente no intervalo de 0 (zero) a 1000, deseja-se transformar cada valor para o inteiro mais próximo que seja múltiplo de 100, incluindo o zero (0, 100, 200, ..., 900, 1000). A transformação NOTAT no software R que produz esse resultado é:

Considere o seguinte modelo de regressão entre as variáveis X e Y: 

Se    são as médias amostrais, os estimadores de mínimos quadrados dos parâmetros α e β são dados por:

Um modelo de regressão logística foi usado na identificação de fatores de risco para mortalidade de pacientes submetidos à cirurgia de revascularização do miocárdio com circulação sanguínea extracorpórea. Os seguintes fatores foram significativos no modelo: idade do paciente (em anos), necessidade de diálise no pós-operatório (0 – não; 1 – sim), lesão neurológica tipo I (0 – não; 1 – sim), CEC – tempo de circulação extracorpórea (0 – menor que 90 minutos; 1 – maior que 90 minutos) e o tempo entre a admissão hospitalar e a cirurgia (em dias). A tabela a seguir apresenta o resultado do ajuste do modelo logístico binário para a variável resposta Y (0 – não óbito; 1 – óbito), com as estimativas dos coeficientes e a razão de chances (odds ratio):



Considere as seguintes afirmativas sobre o resultado do modelo ajustado.
I. A idade do paciente e o tempo entre a admissão hospitalar e a cirurgia têm uma associação inversa ao óbito, ou seja, valores maiores diminuem a probabilidade de o paciente vir a óbito.
II. Com relação à necessidade de diálise, a chance relativa de óbito nos pacientes com necessidade desse tratamento no pós-operatório é 650% maior do que aqueles não submetidos à diálise.
III. O aumento de um dia no tempo entre a admissão no hospital e a cirurgia aumenta a chance relativa de óbito do paciente em cerca de 9%.
IV. O aumento de 3 anos na idade do paciente aumenta em cerca de 310% (1,6³ = 4,10) a chance relativa de óbito do paciente.
Avaliando as afirmações I, II, III e IV como verdadeiras (V) ou falsas (F), tem-se respectivamente:

O Comando do Exército está avaliando características físicas dos ingressantes. A primeira delas avalia a relação entre peso (P) e altura (h) e o Índice de Massa Corpórea (IMC), e adotou-se a Fórmula de Lorentz para estimar o peso ideal através da altura, dada por   em que K = 4 para ingressantes do sexo masculino e K = 2 para ingressantes do sexo feminino, com P em Kg e h em centímetros. Tem-se também que IMC = P / h² , usado com h em metros.
Pode-se afirmar que

A evolução do número de infectados pelo coronavírus no Brasil (y) apresentou um crescimento exponencial em função do número de dias (d) após o primeiro caso confirmado no dia 26 de fevereiro de 2020. No 26º dia, já havia cerca de 1500 casos confirmados. As estimativas do modelo exponencial y = ae^bd são â = 0,4688 e  = 0,3118  para os 26 primeiros dias, com coeficiente de explicação de 0,9981, apresentados no gráfico. Sabe-se que este modelo pode ser linearizado. Considerando não haver mudança no comportamento da população e ser possível a infecção de uma população inteira, o tempo para o contágio de 213 milhões de pessoas seria de, aproximadamente,
Dados: LN(213 × 10⁶ ) = 19,2; LN(0,4688) = - 07576

Em uma pesquisa envolvendo plantações de eucalipto, com as árvores dispostas em filas, verifica-se que não existe disponível uma listagem de indivíduos da população (árvores) a partir da qual seja viável selecionar aleatoriamente uma amostra. O Estatístico seleciona apenas um indivíduo entre os K primeiros, e, a partir deste, cada K-ésimo indivíduo é selecionado deterministicamente para compor a amostra. Sobre esse planejamento experimental, pode-se afirmar que

O Comando do Exército decidiu realizar uma pesquisa para avaliar a Qualidade de Vida dentro das suas divisões. O número de divisões associado às Unidades da Federação (UF) forma um conjunto bastante grande e com considerável heterogeneidade com relação às UFs e ao tamanho da divisão. Nessa situação, o planejamento amostral mais indicado é Amostragem

A Amostragem Estratificada (AE) consiste na subdivisão de uma população em grupos (estratos) segundo uma ou mais características conhecidas na população em estudo, e, de cada um desses grupos, são selecionadas amostras em proporções convenientes. Nessa situação, pode-se afirmar que

O Exército deseja fazer uma pesquisa com os alunos dos três anos do ensino médio atendidos nas suas diversas escolas, considerando 2 (duas) características: (1) ano/série; (2) sexo, compondo 6 (seis) grupos de pesquisa para fins de divulgação. Não há estudo similar ou prévio. A decisão é de que o erro de estimativa seja de 5% com confiança de 95% por grupo. Nesse contexto, o Estatístico usa uma fórmula simplificada no esquema de Amostragem Aleatória Simples (AAS) e indica que o tamanho amostral deve ser, aproximadamente,

Um time de basquete deseja contratar um jogador para reforçar o seu time no próximo campeonato. O critério para a contratação será a sua proporção θ de acertos nos arremessos de 3 pontos: o jogador será contratado se θ ≥ 0,8. O time fará um teste com o provável contratado, e observará o total y de acertos em n arremessos de 3 pontos. Com o resultado do teste, o time pretende decidir entre as hipóteses: H₀ : θ ≥ 0,8 (contrata o jogador) ou H₁ : θ < 0,8 (não contrata o jogador). No contexto de uma decisão bayesiana, suponha que as perdas envolvidas são:
L₀ : perda sofrida, ao decidir que o jogador não deve ser contratado, quando ele deveria ser contratado;
L₁ : perda sofrida, ao decidir que o jogador deve ser contratado, quando ele não deveria ser contratado.
Adotando-se a função densidade a priori π(θ)=2θ,0<θ< 1 para a proporção θ, e sabendo que, no teste realizado, o jogador acertou 4 arremessos de 3 pontos em n = 4 lançamentos, o time deve rejeitar a hipótese H₀ se:

Uma indústria deseja estimar a proporção p de rolamentos em sua linha de produção que não satisfazem as especificações técnicas. Para isso, adota-se para p uma distribuição a priori conjugada Beta com parâmetros a e b. Na especificação dos parâmetros da priori o estatístico consulta um engenheiro especialista e solicita que ele, com base em sua experiência, dê sua opinião (estimativa) sobre o valor esperado de p. O engenheiro apresenta o valor 0,10. O estatístico agradece e pede para o engenheiro supor que, ao selecionar um rolamento na linha de produção, verificou-se que estava fora das especificações técnicas. Em seguida, solicita ao engenheiro uma segunda opinião sobre o valor esperado de p diante da informação adicional, e o engenheiro atualiza sua opinião para o valor 0,12. Os valores de a e b, segundo a opinião do especialista, são:

O comprimento X das fibras de algodão é uma das características determinantes da qualidade da produção na indústria têxtil. Suponha que a variável X tenha distribuição Normal com média µ e desvio padrão σ que dependem do fornecedor. Uma indústria recebe um lote dessas fibras, que podem ter vindo do fornecedor A ou do fornecedor B, cujos parâmetros na distribuição de X são, respectivamente: (µ_A = 33; σ_A = 3) e (µ_B = 36; σ_A = 6). Para decidir se o lote veio do fornecedor A (hipótese H₀ ) ou do fornecedor B (hipótese H₁ ), a indústria resolve selecionar uma amostra de tamanho “n” das fibras do lote e, se o comprimento médio das fibras selecionadas for grande ( > k), onde k é uma constante, a indústria decide que o lote veio do fornecedor B; caso contrário, decide que veio do fornecedor A. Considere a seguinte tabela, que apresenta quantis da distribuição Normal de média zero e desvio padrão um.
Quantis da distribuição Normal Z, de média zero e desvio padrão um.

Qual é o valor aproximado de “n” de forma que as probabilidades de cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II sejam ambas iguais a 0,05?

Sabe-se que, na última safra, o custo médio do frete de itens agrícolas, para distâncias em torno de 800 km, foi de R$ 350,00 com um desvio padrão de R$ 75,00. Para a safra atual, os produtores adotaram novas estratégias no planejamento e na logística do transporte da produção, a fim de diminuir esse custo médio. Assumindo que as novas estratégias não modificaram o desvio padrão do custo na safra atual e supondo normalidade na distribuição da variável custo, deseja- -se verificar se as mudanças foram eficazes. Para o teste das hipóteses de interesse, foram registrados os custos do frete na safra atual (para distâncias em torno de 800 km) de uma amostra de 25 produtores, cuja média e desvio padrão amostral foram, respectivamente,  = R$ 305,00 e s = R$ 70,00. Assim, o p-valor (ou nível descritivo) do teste é aproximadamente p = 0,0013, e conclui-se que as mudanças foram eficazes na redução do custo. Seja Z uma variável com distribuição Normal de média zero e desvio padrão um, e seja  a estatística que representa a média amostral, o p-valor foi obtido como a seguinte probabilidade: 

João e Antônio são atletas de tiro esportivo, cujas chances de acertarem o alvo são 90% e 75%, respectivamente. Suponha que um deles é selecionado ao acaso e executa 6 tiros. Para decidir qual deles executou os tiros, adotou-se a regra: se o atirador acertar o alvo nos 6 tiros, diremos que o João foi o atirador; caso contrário, diremos que foi o Antônio. Usando a tabela da distribuição Binomial a seguir, obtenha as probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II, definidos como: Erro Tipo I: dizer que os tiros foram dados pelo João, quando, na realidade, foram dados pelo Antônio. Erro Tipo II: dizer que os tiros foram dados pelo Antônio, quando, na realidade, foram dados pelo João.
Distribuição Binominal: valores da função de probabilidade 



As probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II são, respectivamente,

A fim de combater o desperdício e diminuir o consumo (em kWh: Quilowatt-hora) de energia elétrica em empresas de pequeno porte de uma região, uma consultoria especializada foi contratada e implementou algumas medidas para melhorar a eficiência energética. Para acompanhar a redução no consumo de energia com as novas medidas, a consultoria selecionou uma amostra de n = 16 empresas da região e registrou o consumo antes (variável X) e após (variável Y) a implementação das medidas propostas. Foram observados, antes das novas medidas, um consumo médio entre as empresas selecionadas  = 350 kWh e, após as novas medidas, um consumo médio  = 320 kWh. Suponha que a diferença entre os consumos, D = X - Y, segue uma distribuição Normal, e que o desvio padrão dessas diferenças entre as empresas selecionadas foi S_D = 40 kW/h. Deseja-se testar a hipótese de que houve redução no consumo com as novas medidas.
Com base na tabela a seguir e adotando um nível de significância de 5%, qual é a região crítica do teste (RC) e a decisão tomada? 

Distribuição t-Student com k graus de liberdade: valores de t tais que P(–t ≤ T_k ≤ t) = 1 – p.

Uma forma de comparar as médias µ_x e µ_y de duas populações normais independentes X e Y, respectivamente, com variância comum e desconhecida σ² , é através do Intervalo de confiança para a diferença entre as médias, dado por


com representando a média observada em uma amostra aleatória de tamanho n da população X, a média observada em uma amostra aleatória de tamanho m da população Y, S_p é o desvio padrão amostral combinado observado nas amostras, e q_t é um quantil da distribuição t-Student. Se y é o coeficiente de confiança desejado no intervalo e T_c representa a distribuição t-Student com c graus de liberdade, o quantil q_t deve satisfazer a seguinte probabilidade:

No processo de estimação de parâmetros associados à distribuição de uma variável aleatória X, através de intervalos de confiança baseados no método da quantidade pivotal, pode-se afirmar que