Se X é uma variável aleatória contínua com função densidade ...

Gabarito: D.

Da teoria, sabemos que ao se integrar uma função densidade de probabilidade, nos limites estabelecidos, ela terá valor unitário. Tendo isso em mente, precisamos integrar a função no intervalo [0,1].

∫ f(x)dx = 1.

Substituindo os dados:

∫ k(1-x²)dx = 1.

Como "k" é uma constante, pode sair da integral.

k ∫ (1-x²) dx = 1.

k* [x-x³/3] no intervalo [0,1] = 1.

Como o limite inferior do intervalo é 0, podemos calcular apenas com o valor do limite superior.

k * [1 - 1³/3] = 1.

k (1-1/3) = 1.

k *(2/3) = 1.

k = 3/2 = 1,5.

Portanto, k = 1,5.

Espero ter ajudado.

Observação: Aqui não tem como representar a integral bonitinha, com os limites de integração no local correto e tal. Caso não tenha entendido minha resolução, procure uma aula simples no youtube de integração de funções polinomiais ou uma aula de integração das principais funções (polinomial, ln, exponencial). Geralmente, tais funções são as mais básicas das disciplinas de cálculo 1.

Bons estudos!

Resposta: D