A função sintática exercida por "a mim mesmo", em "Tratarei ...

Errado, por um simples motivo: com o verbo no futuro SEMPRE ocorrerá MESÓCLISE, logo, a construção correta seria "Tratar-me-ei".;)

Discordo do comentário anterior, pois a mesóclise só é obrigatória se o verbo estiver no futuro do presente/futuro do pretérito e iniciar a oração.Situações1- se houver fator de atração prevalece a PRÓCLISEEx: Amanhã te devolverei os livros2- não havendo fator de atração, se o verbo iniciar a oração, pode haver PRÓCLISE ou MESÓCLISEEx: A Receita Federal nos devolverá os valores pagos a mais. ... devolver-nos-á ...3 - No início da oração (exemplo da questão) = não se inicia a oração com pronome, logo, nesse caso, a MESÓCLISE é obrigatória.Ex: Realizar-se-ia a reunião às 22 horas.

Pessoal, a questão não trata de colocação pronominal, mas sim de SINTAXE. Vejam como inicia o enunciado: "A função sintática exercida..."
Desse modo, temos duas funções sintáticas distintas:
"a mim" - objeto indireto
"me" - objeto direto

Por tal motivo a questão está errada, pois não equivalência gramatical entre "me" e "a mim".

Perceba que o me, realmente esta se tratando de uma ação reflexa do próprio sujeito. Quanto a isso não há erro. Acontece que deveria o "me" vir  em mesóclise. O que não aconteceu. Os comentários dos colegas acima estão perfeitos.

Caio Ramon, sua observação está equivocada.
Observe que o enunciado cita a função sintática, entretanto afirma que " também seria gramaticalmente correta a seguinte redação: Tratarei-me".
É nesse ponto que a questão está incorreta.

A explicação do Paulo está simplificada, mas correta.
Foi discordada pelo colega Caio Marrul, entretanto a sua "discordância" somente respondeu de forma mais completa a questão.

Vale lembrar que além da impossibilidade de empregar pronomes enclíticos a formas verbais que surjam em futuro do presente e futuro do pretérito o mesmo vale para o particípio.

Bons estudos!