Em uma seqüência de números, o primeiro termo é 61 e todos o...

A sequência dos 9 primeiros números é:  61 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16

 Como 61 e 16 geram o mesmo resultado (37) os próximos números se repetirão até voltar ao 16. Projetando essas repetições achamos a letra B.
 61 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 (proposições de 1 até 9)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 (proposições de 10 até 17)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 (proposições de 18 até 25)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 (proposições de 26 até 33)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 (proposições de 34 até 41)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16  (proposições 42 de  até 49)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 (proposições de  50 até 57)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16  (proposições de 58 até 65)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16  (proposições de 66 até 73)
 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16  (81ª posição)

Este é o tipo de problema que se faz por eliminação; senão vejamos:

a1 = 61------>está na letra e)

a2 = 37----->está na letra c)

a3 = 58

a4 = 89

a5 = 145

a6 = 42----->está na letra d)

a7 = 20

a8 = 4------>está na letra a), logo só restou a letra b).

1º termo = 61
2º termo = 6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37
3º termo = 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58
4º termo = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89
5º termo = 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145
6º termo = 1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42
7º termo = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20
8º termo = 2^2 + 0^2 = 4
9º termo = 4^2 = 16
10º termo = 1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37

Pronto! Houve a repetição! O 10º termo é o mesmo que o 2º!

Agora, o pulo do gato: o 9º termo é 16 e o 1º é 61. São diferentes? Sim e não! Sim, porque (lógico!) são números diferentes. Porém, são iguais porque vão gerar o número 37.

Então, a sequência é formada por 8 números. A partir do 9º, é repetição!

Mais um detalhe: o número 61 só aparece no 1º termo. Nos outros, o número que aparecerá é o 16.

Agora, vamos dividir 81 (termo que a questão pede) por 8. Encontraremos quociente 10 e resto 1. É como se déssemos 10 voltas na sequência e parássemos no 1º termo.

E quem é o 1º termo? 61, correto? Então, é a resposta, correto?

ERRADO! Como já explicamos acima (em negrito), o número que sempre aparecerá na sequência é o 16.

Fonte: http://beijonopapaienamamae.blogspot.com.br/2010/01/dia-06-de-janeiro-questao-06.html

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LETRA B