A variável aleatória D = e-5x  segue distribuição uniforme ...

Para identificarmos a distribuição da variável D=e−5X, precisamos recorrer à definição da função acumulada:

FD(x)=P(D≤x)=P(e−5X≤x)

Extraindo o logaritmo natural dos dois lados da inequação:

=P(X≥−lnx/5)

Como nossa X segue distribuição exponencial com função densidade

Mas utilizando a probabilidade complementar: P(X≥x)=1−(1−e−5x)=e−5x. Agora resolvemos o passo anterior:

P(x≥−lnx5) =e−5(−lnx/5)=e^lnx=x

Ou seja, a função acumulada da variável aleatória D é:

P(D≤x)=x

Essa é justamente a função acumulada da distribuição uniforme no intervalo [0,1].

Gabarito: CERTO.

A distribuição uniforme contínua e a distribuição exponencial são duas distribuições de probabilidade distintas, mas podem estar relacionadas em alguns contextos, especialmente quando se trata de processos estocásticos e teoria das filas.

Relação:

• Se considerarmos o máximo de n variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas em [0,1], o resultado se aproxima de uma distribuição exponencial com parâmetro λ=n
• Especificamente, se X1​,X2​,…,Xn​ são variáveis aleatórias uniformemente distribuídas em [0,1], então Y=−1/λ*ln⁡(∏Xi)tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ=n

Essa relação é uma consequência do teorema da transformação inversa e é frequentemente utilizada em simulações e modelagem de processos estocásticos.