Se M = min {X1,…,Xn }, então P(M > 1)  = e-5n  . 

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Q2114801 Estatística

Uma amostra aleatória simples de tamanho n  é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir.


Representando essa amostra aleatória simples como X1,…, Xn , julgue o item subsequente.

Se M = min {X1,…,Xn }, então P(M > 1)  = e-5n  . 
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Para encontrarmos o valor de P(M>1), precisamos primeiramente identificar a função acumulada da variável M. Por definição, temos que

F(m)=P(Mm)=P(min{X1,⋯,Xn})≤m)

Aqui procedemos através da probabilidade complementar:

=1−P(min{X1,⋯,Xn})>m)

Queremos então a probabilidade de que o menor valor amostral seja maior que m. Ora, se o mínimo da amostra é maior que certo valor m, decorre que todos os valores amostrados serão também maiores que m. E dada a independência das observações, nossa expressão ficará assim:

=1−[P(X1>mP(X2>m)×⋯×P(Xn>m)]

Fx = P(Xx) = função acumulada P(Xx)=1−e^−5x

Consequentemente, P(X>x)=1−(1−e^−5x)=e^−5x. Voltando à nossa expressão:

P(M>1)=e^−5n

Gabarito: CERTO.

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