Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o pró...

Esse problema envolve um experimento de amostragem aleatória com reposição, onde estamos tentando encontrar um indivíduo específico que foi marcado no momento inicial. A variável aleatória Y representa o número de tentativas até encontrarmos novamente o indivíduo marcado.

Esse tipo de situação segue uma distribuição geométrica, onde estamos interessados em quantas tentativas são necessárias para ter o primeiro sucesso (neste caso, encontrar o indivíduo marcado).

Passo 1: Entendimento da Distribuição Geométrica

A distribuição geométrica é usada para modelar o número de tentativas Y até o primeiro sucesso. Nesse contexto:

A probabilidade de encontrar o indivíduo marcado em uma tentativa é p.

A probabilidade de não encontrar o indivíduo marcado em uma tentativa é q = 1 - p.

Para uma variável aleatória Y que segue a distribuição geométrica, a probabilidade de encontrarmos o indivíduo marcado exatamente na k-ésima tentativa é dada por:

P(Y = k) = p.q^{k-1}.

Passo 2: Probabilidade de Encontrar o Indivíduo Marcado em Até 10 Tentativas

Agora, queremos a probabilidade de que o indivíduo marcado seja encontrado em até 10 tentativas, ou seja, P(Y ≤ 10). Essa é a soma das probabilidades de que o indivíduo seja encontrado na 1ª, 2ª, 3ª, ..., até a 10ª tentativa.

A fórmula para a soma cumulativa da distribuição geométrica até um número k de tentativas é:

P(Y ≤ k) = 1 - q^k.

No nosso caso, substituindo k = 10, temos:

P(Y ≤ 10) = 1 - q^{10}.

Intuição por Trás da Fórmula

A fórmula P(Y ≤ 10) = 1- q^10 representa a probabilidade complementar de falhar em todas as 10 tentativas:

1. Falhar 10 vezes seguidas (ou seja, não encontrar o indivíduo marcado nas primeiras 10 tentativas) ocorre com probabilidade q^10.

2. O complemento dessa probabilidade, 1-q^10, nos dá a probabilidade de que, em algum momento entre a 1ª e a 10ª tentativa, tenhamos encontrado o indivíduo marcado.

Portanto, a probabilidade de encontrar o indivíduo marcado em até 10 tentativas é realmente P(Y ≤ 10) = 1 - q^10, confirmando a afirmação do problema.

Fonte: chatgpt