Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o pró...

Alternativa Correta: C - Certo

A questão trata de um experimento estatístico que envolve uma distribuição geométrica. Essa distribuição é usada para modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma série de ensaios de Bernoulli independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso.

Para resolver a questão, vamos entender o conceito central:

No experimento, temos uma população de N = 10 indivíduos. Um indivíduo é marcado e devolvido à população. Em seguida, são feitas tentativas sucessivas de selecionar o mesmo indivíduo marcado. A variável aleatória Y representa o número de tentativas até se encontrar o indivíduo marcado.

A fórmula para a probabilidade em uma distribuição geométrica é dada por:

P(Y = k) = p(q)^(k-1)

Onde:

• p é a probabilidade de sucesso (encontrar o indivíduo marcado) em uma tentativa, p = 1/10 = 0.1, já que há 1 chance em 10 de escolher o indivíduo correto.
• q é a probabilidade de falha (não encontrar o indivíduo marcado), q = 1 - p = 0.9.

A questão pede para calcular P(Y ≤ 10), que é a probabilidade de encontrar o indivíduo marcado em até 10 tentativas. Isso pode ser interpretado como 1 - P(Y > 10).

Para uma variável aleatória geométrica, temos a seguinte relação:

P(Y > k) = q^k

Portanto, P(Y > 10) = q^10, e assim:

P(Y ≤ 10) = 1 - q^10

Como solicitado no enunciado, P(Y ≤ 10) = 1 - q^10 está correto, justificando a alternativa C - Certo.

A questão não apresenta alternativas incorretas para análise separada, mas é importante destacar que, ao lidar com questões de probabilidade, é vital entender o conceito de distribuição geométrica e a interpretação correta de ensaios de Bernoulli.

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Esse problema envolve um experimento de amostragem aleatória com reposição, onde estamos tentando encontrar um indivíduo específico que foi marcado no momento inicial. A variável aleatória Y representa o número de tentativas até encontrarmos novamente o indivíduo marcado.

Esse tipo de situação segue uma distribuição geométrica, onde estamos interessados em quantas tentativas são necessárias para ter o primeiro sucesso (neste caso, encontrar o indivíduo marcado).

Passo 1: Entendimento da Distribuição Geométrica

A distribuição geométrica é usada para modelar o número de tentativas Y até o primeiro sucesso. Nesse contexto:

A probabilidade de encontrar o indivíduo marcado em uma tentativa é p.

A probabilidade de não encontrar o indivíduo marcado em uma tentativa é q = 1 - p.

Para uma variável aleatória Y que segue a distribuição geométrica, a probabilidade de encontrarmos o indivíduo marcado exatamente na k-ésima tentativa é dada por:

P(Y = k) = p.q^{k-1}.

Passo 2: Probabilidade de Encontrar o Indivíduo Marcado em Até 10 Tentativas

Agora, queremos a probabilidade de que o indivíduo marcado seja encontrado em até 10 tentativas, ou seja, P(Y ≤ 10). Essa é a soma das probabilidades de que o indivíduo seja encontrado na 1ª, 2ª, 3ª, ..., até a 10ª tentativa.

A fórmula para a soma cumulativa da distribuição geométrica até um número k de tentativas é:

P(Y ≤ k) = 1 - q^k.

No nosso caso, substituindo k = 10, temos:

P(Y ≤ 10) = 1 - q^{10}.

Intuição por Trás da Fórmula

A fórmula P(Y ≤ 10) = 1- q^10 representa a probabilidade complementar de falhar em todas as 10 tentativas:

1. Falhar 10 vezes seguidas (ou seja, não encontrar o indivíduo marcado nas primeiras 10 tentativas) ocorre com probabilidade q^10.

2. O complemento dessa probabilidade, 1-q^10, nos dá a probabilidade de que, em algum momento entre a 1ª e a 10ª tentativa, tenhamos encontrado o indivíduo marcado.

Portanto, a probabilidade de encontrar o indivíduo marcado em até 10 tentativas é realmente P(Y ≤ 10) = 1 - q^10, confirmando a afirmação do problema.

Fonte: chatgpt

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