Qual o valor da área do círculo inscrito num quadrado, se a...

Infelizmente para fazer essa questão tem que desenhar. Mas o passo-a-passo: 

1° ache o raio do circulo maior: 4 raiz 2 

2° perceba que do 2 raios do circulo grande equivale a diagonal do quadrado dentro dele: diagonal = L raiz 2 

3° O lado do quadrado equivale a 2 dois raios do ciruclo menor.

A(circulo maior)=32pi => 32pi=pi.R²=> R=4 raiz 2 

* tirando a hipotenusa do triangulo retangulo do quadrado=> R+R =d => 4raiz2 +4raiz2= 8raiz2

utiliza o sen 45 = raiz2/2=d/8raiz2 => d=8 (diamentro do circulo menor) logo r = 4

A(circulo menor)= pi . 4² = 16pi

GABARITO: C

* Área do círculo: Pi . R²

* A área do C.Circunscrito é 32 pi conforme o enunciado, então 32pi = pi . R². Usando o valor de pi (3,14) chega-se ao R= 4.raiz de 2.

* O raio do círculo Circunscrito é a diagonal do quadrado dividida por 2 :

R= d/2

*Usando agora o valor do R descobrimos a diagonal: 8. raiz de 2

*A diagonal de um quadrado é representada por d²=l²+l². Então descobrimos o valor do lado:

(8.raiz de 2)²=l²+l² --------  > cortando o expoente com a raiz temos: 64.2= 2l²-------- > raiz de 64=8

*O raio de um círculo Inscrito é representado por r= l/2 . Logo o raio será 4.

*Agora é só jogar na fórmula da área (pi.r²)= 16.pi cm²

Bons estudos!

Primeiramente devemos imaginar um desenho representado por um quadrado + duas circunferência: Uma por fora contornando o quadrado (circunscrita) e outra por dentro do quadrado tocando os seus lados(Inscrita).

Quando a questão informa que a área da circunferência circunscrita ao quadrado tem valor igual a 32ர, podemos achar o Raio da circunferência circunscrita em relação ao quadrado: A= ர x R² → 32ர = ரx R²  → R² = 32ர/ர  → R =√32 →  R =4√2cm.

Pela fórmula do Raio de uma cirferência circunscrita em um quadrado, acharemos o valor da diagonal deste quadrado:

R= d/2  → d= 2R → d=2.4√2 → d=8√2cm.

Porfim o que a questão pede é a àrea da cirferência de dentro do quadrado(inscrita). Como achamos a diagonal deste quadrado, acharemos o valor do lado:

d= L√2  → 8√2=L√2 → L=8cm

O raio da circunferência inscrita é dada pela fórmula r =L/2; sendo assim:

r=L/2  → r=8/2  → r =4cm

Agora acharemos a área da circunferência inscrita pelo seu devido raio:

A'= ர.r² → A'=ர.4² →  A'=16ரcm²

Letra C

Círculo circunscrito =

πR² = 32π

R² = 32

R = √32

Simplificando (por fatoração) = 4√2

Diagonal = 2 x Raio = 2 x4√2 = 8√2

Quadrado =

A diagonal do círculo circunscrito é igual a diagonal do quadrado. O quadrado cortado na diagonal forma um triangulo retângulo. Fazendo Pitágoras temos:

D² = a² + a²

(8√2)² = 2a²

64 x 2 = 2a²

a² = 64

a = 8

o lado do quadrado mede 8, logo o raio do circulo inscrito mede a metade de 8 = 4

círculo inscrito =

πR² = π4² = 16π