Considerando a estimação de uma média populacional μ e do d...

GABARITO: CERTO

Resumo dos estimadores:

Média Amostral - Não viciado, consistente e eficiente

Mediana amostral - Não viciado, consistente e menos eficiente que a Média amostral

Primeiro escolhido - Não viciado, mas não consistente.

Variância - Viciado

Variância amostral - Não viciado

Desvio padrão - Viciado (gabarito da questão).

Comecemos verificando que a variância amostral é um estimador não viciado da variância populacional. Essa afirmação equivale a dizer que o valor esperado da variância amostral coincide com a variância populacional:

E[s2]=σ2

  O raciocínio a ser feito para o desvio padrão é mais ou menos o seguinte: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância; como a raiz quadrada é uma função não-linear e estritamente côncava, decorre que seu valor subestimará o valor real do parâmetro. Trata-se de uma aplicação da desigualdade de Jensen

E[√s2]<√E[s2]

(com exceção da distribuição degenerada σ=0)

  Isso significa que o desvio padrão amostral será um estimador tendencioso para a estimação do desvio padrão populacional.

A desigualdade de Jensen é um princípio importante na teoria da análise matemática e teoria da probabilidade. Ela estabelece uma relação entre a expectativa de uma função de uma variável aleatória e a função da expectativa da mesma variável aleatória. A desigualdade de Jensen é frequentemente usada para entender propriedades de funções convexas e côncavas em estatísticas e teoria da probabilidade.

A desigualdade de Jensen pode ser formulada da seguinte maneira:

Seja X uma variável aleatória, e seja g(x) uma função convexa (ou côncava) de X. Então, a expectativa de g(X) é maior (ou menor) do que g da expectativa de X:

Se g(x) é convexa: E[g(X)] ≥ g(E[X])

Se g(x) é côncava: E[g(X)] ≤ g(E[X])

Isso significa que, em termos gerais, a média da função aplicada aos valores da variável aleatória é maior (ou menor) ou igual à função aplicada à média da variável aleatória, dependendo se a função é convexa ou côncava.

A desigualdade de Jensen é uma ferramenta poderosa que é aplicada em diversos campos, como estatísticas, teoria da probabilidade, otimização e economia, para estabelecer relações entre médias, funções e variáveis aleatórias. Ela desempenha um papel fundamental na análise de desigualdades e em muitas áreas da matemática aplicada.

Gabarito: CERTO.

Um estimador viciado é aquele que, em média, não atinge o valor exato do parâmetro populacional.

O entendimento do viés é importante para avaliar a qualidade de um estimador em análises estatísticas.