O salário de determinada categoria tem um reajuste anual de ...

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A fórmula para calcular o valor de um investimento ou salário após um certo número de anos com um reajuste percentual é:

S=S0×(1+r)t,S = S_0 \times (1 + r)^t,S=S0​×(1+r)t,

onde:

• SSS é o salário após ttt anos,
• S0S_0S0​ é o salário atual,
• rrr é a taxa de reajuste (neste caso, 4%, ou 0,04),
• ttt é o número de anos.

Queremos que o salário após ttt anos seja maior que o dobro do salário atual:

S0×(1+0,04)t>2×S0.S_0 \times (1 + 0,04)^t > 2 \times S_0.S0​×(1+0,04)t>2×S0​.

Podemos simplificar esta equação, dividindo ambos os lados por S0S_0S0​ (assumindo que S0>0S_0 > 0S0​>0):

(1,04)t>2.(1,04)^t > 2.(1,04)t>2.

Para resolver a inequação, tomamos o logaritmo de ambos os lados:

log⁡((1,04)t)>log⁡(2).\log((1,04)^t) > \log(2).log((1,04)t)>log(2).

Utilizando a propriedade do logaritmo, onde log⁡(ab)=b⋅log⁡(a)\log(a^b) = b \cdot \log(a)log(ab)=b⋅log(a):

t⋅log⁡(1,04)>log⁡(2).t \cdot \log(1,04) > \log(2).t⋅log(1,04)>log(2).

Agora, isolamos ttt:

t>log⁡(2)log⁡(1,04).t > \frac{\log(2)}{\log(1,04)}.t>log(1,04)log(2)​.

Usando os valores fornecidos:

• log⁡(2)=0,301\log(2) = 0,301log(2)=0,301
• Para calcular log⁡(1,04)\log(1,04)log(1,04), podemos usar a fórmula de logaritmo de produtos:

log⁡(1,04)=log⁡(104100)=log⁡(104)−log⁡(100)=2,017−2=0,017.\log(1,04) = \log\left(\frac{104}{100}\right) = \log(104) - \log(100) = 2,017 - 2 = 0,017.log(1,04)=log(100104​)=log(104)−log(100)=2,017−2=0,017.

Substituindo os valores na inequação:

t>0,3010,017.t > \frac{0,301}{0,017}.t>0,0170,301​.

Calculando isso:

t>17,706.t > 17,706.t>17,706.

Como ttt deve ser um número inteiro e deve ultrapassar 17,70617,70617,706, o valor mínimo necessário de ttt será 181818.

Assim, a resposta correta é:

C) 18.

0,301  + 2,017 = 2,318

Fui de C com força!!