Sabe-se que o polinômio P(x) = x3 − 4x2 + mx − 2 é divisível...

pelo método das chaves temos que (m-n+5)x +5n-2 =0 (esse é o resto da divisão)

por definição

m-n+5 = 0

5n-2=0

n= 2/5

m = -23/5

m+n = -21/5

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Efetuando a divisão de x³-4x²+mx-2 por x²+x+n chegamos ao ponto onde não podemos mais prosseguir e o resto da divisão é 5x+mx-nx-2+5n, como a divisão é exata tempo que esse valor é igual a zero, logo:

5x+mx-nx-2+5n=0

x(m+5-n)+1(-2+5n)=0

perceba que se m+5-n=0 e -2+5n=0 satisfaz a equação, pois x*0+1*0=0. Portanto basta resolver o sistema,

-2+5n=0

5n=2

n=2/5

substituindo na segunda,

m+5-n=0

m+5-2/5=0

m=-23/5

Fazendo m+n temos:

-23/5+2/5=-21/5