Em lógica matemática, uma proposição pode ser verdadeira ou ...

A proposição é falsa. O único caso onde o condicional assume valor falso é V->F.

Paulo está trabaçhando em porto alegre = V

ele foi aprovado no concurso ou sua esposa não é uma empresária bem-sucedida. = para ser falso, ambas devem ser falsas.

A) Paulo não foi aprovado no concurso e sua esposa não é uma empresária bem-sucedida. = Falsa

B) Paulo está trabalhando em Pouso Alegre e sua esposa é uma empresária bem-sucedida. = Verdadeira

C) Se a esposa de Paulo é uma empresária bem-sucedida, então ele foi aprovado no concurso.= Falsa

D) Se a esposa de Paulo é uma empresária bem-sucedida, então ele não está trabalhando em Pouso Alegre. = Falsa

Para ser considerada FALSA, a proposição condicional deve ter o antecedente Verdadeiro e o consequente Falso:

Obs.: Para fins didáticos: PPA = Paulo está trabalhando em Pouso Alegre;

AC = Aprovado no Concurso;

~EBS = Esposa não é uma empresária Bem-Sucedida.

PPA -> (AC v ~EBS) = Se Paulo está trabalhando em Pouso Alegre, então ele foi aprovado no concurso ou sua esposa não é uma empresária bem-sucedida.

Para a disjuntiva (v/ou) ser falsa, ambos os membros da disjunção (AC e ~EBS) precisam ser falsos para que a disjunção inteira seja falsa.

Logo, a segunda parte (AC v ~EBS) deverá ser (~AC ^ EBS), pois é quando a disjuntiva assume valor FALSO.

A troca do símbolo de disjunção ∨ (ou) pelo de conjunção ∧ (e) ocorre quando se busca o valor falso de uma disjunção, pois estamos tratando de sua negação.

A regra que formaliza isso é a Lei de De Morgan, que diz:

A negação de uma disjunção ~(∨) é equivalente a ~∧.

Portanto, PPA -> (~AC ^ EBS) = Paulo está trabalhando em Pouso Alegre e sua esposa é uma empresária bem-sucedida.