Seja p ∈ R e considere as funções f , g : R→R dadas por f(x)...
Seja p ∈ R e considere as funções f , g : R→R dadas por f(x)=−2+x+x2 e g(x)=−6−p+5x.
Sobre os gráficos das funções f e g , considere as afirmativas a seguir.
I. Se p<0, então os gráficos se interceptam em dois pontos distintos.
II. Se p=0, então os gráficos se interceptam em um, e apenas um, ponto.
III. Se p=1, então os gráficos se interceptam em um, e apenas um, ponto.
IV. Se p=2, então os gráficos se interceptam em dois pontos distintos.
Assinale a alternativa correta.
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Vamos analisar a questão sobre funções e suas interseções, uma das partes fundamentais do estudo de funções em matemática. Este tema é crucial em concursos, pois envolve entendimento de conceitos como gráficos de funções e suas possíveis interseções.
Tema central: A questão trata sobre a interseção dos gráficos das funções f(x) e g(x), que são do tipo polinomial. É preciso identificar sob quais condições o valor de p determina o número de interseções entre essas funções.
Resumo teórico:
Para determinar os pontos de interseção entre duas funções, igualamos suas expressões e resolvemos a equação resultante. O número de soluções dessa equação determinará o número de interseções. As funções dadas são do tipo:
- f(x) = -2 + x + x²
- g(x) = -6 - p + 5x
Igualando f(x) e g(x), temos:
-2 + x + x² = -6 - p + 5x
Isso simplifica para uma equação quadrática, cuja resolução dará o número de interseções.
Justificativa da alternativa correta (A):
Alternativa A: Somente as afirmativas I e II são corretas.
Explicação:
- **I**. Se p < 0, a equação quadrática resultante terá duas soluções distintas, resultando em dois pontos de interseção. Isso é verdadeiro.
- **II**. Se p = 0, a equação quadrática se tornará uma equação linear, que terá apenas uma solução, ou um ponto de interseção. Isso também é verdadeiro.
- **III**. Se p = 1, ao resolvermos a equação, teremos um cenário específico diferente de dois pontos distintos, não é garantido que ocorre apenas uma interseção, pois a condição específica não garante raiz única.
- **IV**. Se p = 2, novamente, a equação resultante não garante dois pontos de interseção distintos, pois a condição não assegura duas raízes reais distintas para esse valor.
Análise das alternativas incorretas:
Alternativa B: Inclui a afirmativa IV, que não é correta conforme explicado acima.
Alternativa C: Inclui as afirmativas III e IV, ambas incorretas.
Alternativa D: Inclui a afirmativa III, que é incorreta.
Alternativa E: Inclui as afirmativas III e IV, ambas incorretas.
É importante ter atenção às condições específicas sob as quais as funções se interceptam, garantindo uma análise cuidadosa das soluções das equações resultantes.
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