Considere como universo o conjunto 𝑈={0,1,2,3,4,5} e as três...

**Alternativa correta:** D - As afirmações II e III são verdadeiras.

**Tema central da questão:**

A questão aborda o uso de **quantificadores lógicos** (universal "∀" e existencial "∃") no contexto de conjuntos, utilizando o conjunto universo ={0,1,2,3,4,5}. Entender esses conceitos é essencial para resolver questões de raciocínio lógico que frequentemente aparecem em concursos.

**Resumo teórico:**

1. **Quantificador Universal (∀):** Indica que uma propriedade é verdadeira para todos os elementos de um conjunto. Por exemplo, "∀ ∈ " significa que a propriedade vale para todos os elementos de .

2. **Quantificador Existencial (∃):** Indica que existe pelo menos um elemento no conjunto para o qual a propriedade é verdadeira. Por exemplo, "∃ ∈ " significa que há pelo menos um em que satisfaz a condição.

**Justificativa da alternativa correta:**

"∀ ∈ , 2 + 1 < 5 é falsa." - Ao verificar cada elemento de , vemos que para =3, 2(3)+1 = 7, que não é menor que 5. Portanto, a afirmação é falsa, confirmando que I é falsa.

"∃ ∈ , ² = 4 é verdadeira." - O valor de que satisfaz essa condição é =2 (pois 2²=4) e também =-2 (embora não esteja no conjunto U). Portanto, a afirmação é verdadeira, confirmando que II é verdadeira.

"∀ ∈ , ≤ 5 é verdadeira." - Todos os elementos de (0, 1, 2, 3, 4, 5) são menores ou iguais a 5. Portanto, a afirmação é verdadeira, confirmando que III é verdadeira.

Com essas análises, concluímos que as **afirmações II e III são verdadeiras**, tornando a alternativa D correta.

**Análise das alternativas incorretas:**

Afirma que todas as afirmações são verdadeiras, mas a afirmação I é falsa.

Afirma que I e II são verdadeiras, mas a afirmação I é falsa.

Afirma que I e III são verdadeiras, mas a afirmação I é falsa.

Afirma que todas as afirmações são falsas, mas as afirmações II e III são verdadeiras.

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1. I: Para todos os xx do conjunto UU, 2x+1<52x + 1 < 5.
2. Isso é falso, porque para x=2x = 2, 2(2)+1=52(2) + 1 = 5, que não é menor que 5.
3. Logo, a afirmação I é verdadeira (porque ela diz que essa proposição é falsa).
4. II: Existe um xx no conjunto UU tal que x2=4x^2 = 4.
5. Isso é verdadeiro, porque 22=42^2 = 4.
6. III: Para todos os xx no conjunto UU, x≤5x \leq 5.
7. Isso é verdadeiro, porque todos os números no conjunto U={0,1,2,3,4,5}U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} são menores ou iguais a 5.

Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.

Resposta: A.

Não sei nem começar a raciocinar nesta questão e o único colega não esclareceu... Comentário de professor solicitado.

Vamos analisar cada uma das afirmações com base no conjunto U={0,1,2,3,4,5}

U={0,1,2,3,4,5}:

I. A proposição ∀x∈U,2x+1<5

∀x∈U,2x+1<5 é falsa.

Para verificar essa proposição, precisamos testar todos os valores de x

x no conjunto U

U:

• Para x=0
• x=0: 2×0+1=1
• 2×0+1=1 (verdadeiro)
• Para x=1
• x=1: 2×1+1=3
• 2×1+1=3 (verdadeiro)
• Para x=2
• x=2: 2×2+1=5
• 2×2+1=5 (falso)
• Para x=3
• x=3: 2×3+1=7
• 2×3+1=7 (falso)
• Para x=4
• x=4: 2×4+1=9
• 2×4+1=9 (falso)
• Para x=5
• x=5: 2×5+1=11
• 2×5+1=11 (falso)

Como a proposição é falsa para x=2,3,4,5

x=2,3,4,5, a afirmação I é verdadeira.

II. A proposição ∃x∈U,x2=4

∃x∈U,x2

=4 é verdadeira.

Para verificar essa proposição, precisamos encontrar pelo menos um valor de x

x no conjunto U

U que satisfaça x2=4

x2

=4:

• Para x=0
• x=0: 02=0
• 02
• =0 (falso)
• Para x=1
• x=1: 12=1
• 12
• =1 (falso)
• Para x=2
• x=2: 22=4
• 22
• =4 (verdadeiro)
• Para x=3
• x=3: 32=9
• 32
• =9 (falso)
• Para x=4
• x=4: 42=16
• 42
• =16 (falso)
• Para x=5
• x=5: 52=25
• 52
• =25 (falso)

Como existe x=2

x=2 que satisfaz x2=4

x2

=4, a afirmação II é verdadeira.

III. A proposição ∀x∈U,x≤5

∀x∈U,x≤5 é verdadeira.

Para verificar essa proposição, precisamos testar todos os valores de x

x no conjunto U

U:

• Para x=0
• x=0: 0≤5
• 0≤5 (verdadeiro)
• Para x=1
• x=1: 1≤5
• 1≤5 (verdadeiro)
• Para x=2
• x=2: 2≤5
• 2≤5 (verdadeiro)
• Para x=3
• x=3: 3≤5
• 3≤5 (verdadeiro)
• Para x=4
• x=4: 4≤5
• 4≤5 (verdadeiro)
• Para x=5
• x=5: 5≤5
• 5≤5 (verdadeiro)

Como todos os valores de x

x no conjunto U

U satisfazem x≤5

x≤5, a afirmação III é verdadeira.

Portanto, as afirmações I, II e III são todas verdadeiras.