A Transformada Discreta de Fourier (DFT) é uma versão da
transformada de Fourier aplicável a sinais discretos, sendo
especialmente útil em sistemas digitais. A Transformada
Rápida de Fourier (FFT) é uma versão mais rápida da DFT
que elimina redundâncias dos cálculos da DFT. A maioria
das implementações da FFT utilizam o algoritmo de Cooley-Tukey, conferindo celeridade ao cálculo da transformada de
Fourier em sistemas computacionais modernos. Nesse
contexto, sabendo que N é o número de amostras
consideradas para a DFT, a complexidade computacional
da DFT é de O(N2
), ao passo que da FFT é de

Question

A Transformada Discreta de Fourier (DFT) é uma versão da
transformada de Fourier aplicável a sinais discretos, sendo
especialmente útil em sistemas digitais. A Transformada
Rápida de Fourier (FFT) é uma versão mais rápida da DFT
que elimina redundâncias dos cálculos da DFT. A maioria
das implementações da FFT utilizam o algoritmo de Cooley-Tukey, conferindo celeridade ao cálculo da transformada de
Fourier em sistemas computacionais modernos. Nesse
contexto, sabendo que N é o número de amostras
consideradas para a DFT, a complexidade computacional
da DFT é de O(N2
), ao passo que da FFT é de  Alternativa A: O(N2
-N) Ou Alternativa B: O(N2
-log(N)) Ou Alternativa C: O(Nlog(N)) Ou Alternativa D: O(N)

Qconcursos · Accepted Answer

Alternativa [C] O(Nlog(N)) A alternativa correta é: C - O(Nlog(N))

Tema Central da Questão:

Esta questão aborda a Transformada Discreta de Fourier (DFT) e a Transformada Rápida de Fourier (FFT), ferramentas cruciais na análise de sinais discretos em sistemas digitais. O entendimento da complexidade computacional dessas transformadas é fundamental, pois impacta a eficiência de sistemas computacionais modernos, especialmente em aplicações de processamento de sinais, como na engenharia de telecomunicações.

Resumo Teórico:

A DFT transforma um sinal no domínio do tempo em um sinal no domínio da frequência. Sua complexidade computacional é O(N2), o que significa que o tempo de execução cresce quadraticamente com o número de amostras N. A FFT, uma otimização da DFT, utiliza o algoritmo de Cooley-Tukey para reduzir a redundância nos cálculos, melhorando a eficiência para O(Nlog(N)), tornando-se extremamente valiosa em contextos que exigem processamento rápido.

Justificando a Alternativa Correta:

A FFT é uma implementação mais eficiente da DFT, reduzindo o tempo de cálculo devido à eliminação de operações redundantes. A complexidade O(Nlog(N)) da FFT, como especificado na alternativa C, é bem documentada e amplamente reconhecida em literaturas acadêmicas e práticas de engenharia (Fonte: "Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing", Press et al.).

Análise das Alternativas Incorretas:

A - O(N2-N): Esta expressão não representa corretamente a complexidade da FFT. A simplificação da FFT não resulta em uma subtração linear, mas sim em uma multiplicação logarítmica.

B - O(N2-log(N)): Embora inclua um termo logarítmico, a base quadrática (N2) é incorreta para a FFT, que é otimizada para ser mais eficiente que qualquer termo quadrático.

D - O(N): Esta complexidade seria linear, mas não é adequada para a FFT, já que omite o componente logarítmico essencial para o cálculo rápido da transformada.

Compreender a redução de complexidade de O(N2) para O(Nlog(N)) é crucial para reconhecer as melhorias significativas introduzidas pela FFT.

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