Considere um sistema constituído por 3 unidades independente...

Depois da explicação do professor tirei duas conclusões

1. Esse tipo de questão melhor não fazer se você não souber estatística
2. Eu vou ser tão bom em estatística a ponto de fazer esse tipo de questão

O sistema é constituído por 3 unidades independentes, as quais operam em paralelo. Dado o paralelismo, o sistema falhará quando todas as unidades falharem. Dada a independência das unidades, a função de distribuição acumulada S(t) para a falha no sistema será dada pelo produto das funções acumuladas de cada unidade.

S(t)=F1(t)×F2(t)×F3(t)

S(t)=(1−e−t)^3

Derivando a função acumulada do sistema,

=3(1−e^−t)^2*e^−t

=3(e^−t−2e^−2t)+3e^−3t

Temos acima três distribuições exponenciais, com parâmetros 1, 2 e 3, cujas médias sãorespectivamente 1, 1/2 e 1/3. O valor esperado da nossa variável fica

3⋅1−3⋅1/2+1/3=(18−9+2)/6=11/6

Gabarito: CERTO.

Complementando a resposta do professor:

1 - A função, P(Tk ≤ t) = Fk (t) = 1 - e^ -t, é a INTEGRAL da função densidade de Probablidade da Distribuição Exponencial, cujo modelo é lambda*e^(-lambda . t)

Em outras palavras a função P(Tk ≤ t) = Fk (t) = 1 - e^ -t é a função de distribuição de probabilidade Acumulada da função de densidade de probabilidade da Distribuição Exponencial.

Por isto ao derivá-la obtemos a função densidade de probabilidade, cuja média de Tempo até ocorrer a 1a falha é de 1/lambda

2 - A Distribuição densidade de probabilidade resultante da Derivação das 3 Distrib. Acumuladas é 3(e^−t−2e^−2t)+3e^−3t.

(Repare que tem 3 distribuições exponenciais nesta resultante!)

E foi separada dessa forma para atender à fórmula e assim poder destacar o lambda de cada uma das 3 distribuições exponenciais.

Logo o tempo esperado para ocorrência da 1a falha nessa distribuição resultante será o somatório dos tempos esperados de cada distribuição, mas respeitando a fórmula 3(e^−t−2e^−2t)+3e^−3t.