Na tabela acima, resultante da aplicação de uma amostragem a...

Var(X) = E(X²) média dos quadrados- E(X)² quadrado da média

Var(X)= 1287/10 - (97/10)²

Var(x)= 128,7 - 94,09 = 34,61

Complementando o comentario da Nathália: Apesar de a questão dizer expressamente que se trata de uma amostra, não precisamos utilizar o fator de correção (N/N-1), pois a questão pediu a estimativa de máxima verossimilhança.

Caso contrário, o cálculo da variância deveria ser:

Var(X)= [1287/10 - (97/10)²] * 10/9

A distribuição é normal, o valor do estimador dos momentos coincide com o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para os parâmetros da distribuição.

Os estimadores de momentos e de máxima verossimilhança são duas abordagens diferentes para estimar os parâmetros de uma distribuição de probabilidade. No caso de uma distribuição normal, o estimador dos momentos utiliza as médias amostrais e os desvios padrão amostrais para estimar os parâmetros da distribuição normal.

Por outro lado, o estimador de máxima verossimilhança maximiza a função de verossimilhança, que é uma medida da probabilidade de observar os dados dados os parâmetros da distribuição. Para uma distribuição normal, a função de verossimilhança é maximizada quando os estimadores de máxima verossimilhança para a média e o desvio padrão são iguais às médias amostrais e aos desvios padrão amostrais.

Portanto, se a distribuição é normal, ambas as abordagens, estimador dos momentos e estimador de máxima verossimilhança, fornecerão os mesmos valores para os parâmetros estimados.

É importante notar que, em muitas situações práticas, a propriedade de normalidade da distribuição pode ser uma suposição ou aproximação, e é sempre bom verificar essa suposição antes de escolher um método de estimação. Em casos onde a normalidade pode não ser uma suposição válida, outras distribuições ou métodos de estimação podem ser mais apropriados.

Uma vez que a distribuição é normal, basta calcular via método dos momentos, o que trará o valor da verossimilhança.

método dos momentos

var(x) = e(x^2) - e(x)^2 = 34,61