Pedro e João estão competindo em uma corrida. Seja Xt a qu...

Estamos lidando com um movimento browniano com drift, onde a média da distribuição é μ⋅t e o desvio padrão é σ. No entanto, o "drift" μ é 0, então temos Xt=σ⋅Bt, onde Bt é um movimento browniano padrão. A quantidade de tempo em que Pedro está à frente de João é modelada como um movimento browniano padrão (Bt) escalado por σ.

Quando 3/4 da corrida está completa, Pedro está liderando por σ/2, isso significa que:

Bt=Xt /σ=σ/2 /σ=1/2 quando t=3/4

A questão quer saber a probabilidade de Pedro vencer a corrida, ou seja, a probabilidade de X1>0, dado que B3/4=1/2.

Como Bt é um movimento browniano padrão, então B1 tem uma distribuição normal com média 0 e variância 1.

Queremos encontrar P(X1>0|B3/4).

Vamos considerar a distribuição de Y=B1−B3/4, este movimento é um movimento browniano que segue uma distribuição normal com média:

μ(B1−B3/4)=μ(B1)−μ(B3/4)=0−0=0

Para calcular a variância precisamos saber de uma propriedade do movimento browniano, o fato que Cov(Bt,Bs)=min(t,s) , sendo assim:

Var(B1−B3/4)=Var(B1)+Var(B3/4)−2Cov(B1,B3/4)=1+3/4−2⋅3/4=1−3/4=1/4

Logo Y=[B1−B3/4]∼N(0,1/4)

Transformando Y numa distribuição normal padrão, dividindo-o pelo seu desvio padrão, teremos Z é uma variável aleatória normal padrão (com média 0 e variância 1).

Veja então que, queremos a probabilidade de X1>0 (ou seja B1>0) quando B3/4=1/2 então queremos a probabilidade de:

Z=B1−B3/4 /√1/4=B1−1/2 /√1/4≥2⋅−1/2=−1

Ou seja:

P(X1>0|B3/4)=P(B1>0|B3/4)=P(Z>−1)

Consultando a tabela dada na questão e, vemos que P(Z≥−1)=P(Z≤1)=0,841.

Portanto, a probabilidade de Pedro vencer é 84,1%.

Gabarito: letra D