Considere as orações: I. É necessário tranqüilidade. II. Est...

Se na expressão é necessário o sujeito não estiver acompanhado de artigo então a oração ficará invariável,dai temos o seguinte: É necessário sua presença. É necessária a sua presença. Enquanto isto a palavra quite concorda com o substantivo a que se refere,logo teremos: Nós estamos quites com o serviço militar.

Quanto à alternativa incorreta:
"QUITE" é adjetivo, por isso deve concordar:
"Eu estou quite ..."
"Nós estamos quites."

GABARITO A.
I. É necessário tranqüilidade. ( É NECESSÁRIO - INVARIÁVEL)

II. Estou quites com ele. (eu estou QUITE - VERBO NO SINGULAR)

Quite pode ser:
verbo, substantivo e adjetivo.

Na questão, ele foi usado como substantivo, e não como verbo. Por esse motivo, ele admite a flexão no plural ou singular, concordando com o pronome.

(Eu) Estou quite.
*Ou seja, QUITE deve concordar com o pronome EU e ser flexionado no singular e não plural QUITES)

Lembrando que neste caso, "tranqüilidade", não se usa mais trema de acordo com a nova ortografia em vigência.