Um triângulo equilátero grande será construído com palitos a...

O número de pequenos triângulos que formam a base do triângulo maior varia conforme a progressão: 1,3,5,7,...

Quando o número desses triângulos for 1001, como quer o problema, o número do elemento da sequência será:

A_n = A₁+(n-1)r

1001 = 1 + (n-1)2

n=501

Esse resultado implica que estaremos na 501ª linha.

Considera-se agora a progressão dada pelos números de palitos, conforme se obtém da figura dada: (3,9,18,30,...). Essa progressão parece inacessível; então, é preciso considerar que 30=(6+9+12)+3, isto é, que 30 resulta da diferença 9-3, somada à 18-9, somada à 30-18, e somada ao primeiro termo, 3. Essa recorrência será o mecanismo para encontrar o número de palitos que formam o grande triângulo de 501 linhas (501 palitos de base). Observe que a diferença dos termos dessa sequência é, ela mesma, uma PA (6,9,12,...), com um termo a menos do que a sequencia (3,9,18,...).

Ora, como estamos na 501ª linha, temos que considerar a soma dos 500 primeiros termos de (6,9,12,...). Primeiro, encontra-se o 500º termo dessa sequencia:

A₅₀₀=6+(500-1)3

A₅₀₀=1503

Fazendo a soma dos 500 primeiros termos de (6,9,12,...), encontra-se:

S_n=(A_n+A₁)/2

S₅₀₀=(1503+6) 250

S₅₀₀= 377250

Mas, como foi explicado antes, esse número precisa ser adicionado a 3, o primeiro termo da sequencia de numeros de palitos que formam o triângulo maior, de forma que o número total de palitos necessários torna-se então 377253.

Gabarito: A

Triângulos na base: 1, 3, 5, 7, ..., 1001 ----> (PA, r = 2) 

Palitos na base: 3, 6, 9, 12, ..., X  -----> (PA, r = 3)

Obs.: O número de termos das duas progressões são iguais.

 

1001 = a_n

a_n = a₁ + (n-1).r

1001 = 1 + (n-1).2

n = 501

X = a₅₀₁

a₅₀₁ = 3 + (501-1).3

a₅₀₁ = 1503

  

 

S_n = (a₁+a_n) n / 2

S_n = (3 + 1503). 501 / 2

S_n = 754506 / 2

S_n = 377253

GABARITO: letra "A"

Eu fiz assim...

1) Percebi que os triângulos de cabeça para baixo não possuíam palitos próprios. Eles se formavam apenas por causa dos espaços deixados pelos coloridos (os de cabeça para cima). E também percebi que o número da linha correspondia ao número de triângulos coloridos, que multiplicados por 3 dava o número de palitos. (Eu pintei todos os triângulos de cabeça para cima, mas aqui não aceitou a  figura...sniff)
 
2) Observe que o número de triângulos coloridos é igual ao (número total de triângulos + 1) dividido por 2.

3) Então, se o número total de triângulos da linha base for 1001, o número de triângulos coloridos será  (1001 + 1) / 2 = 501. Sabe-se que esse também será o número da sua linha.

4) Agora, para sabermos o número total de palitos teremos que somar (1 + 2 + 3 + 4 ... + 501) e multiplicar por 3 (número de palitos usados para formar cada triângulo).  Isso nada mais é do que a Soma dos Termos da Progressão Aritmética Finita cuja fórmula é Sn= n . (a1 + an) / 2 , onde n é o número final.

5) Fazendo isso, acharemos Sn= 501 . (1 + 501) / 2 :. = 125751. Este é o número total de triângulos pequenos. Agora temos que multiplicar por 3 para sabermos o número total de palitos. Então,  (125751) x 3 = 377253.

Portanto: resposta letra A

Espero que tenha ajudado!!!

Pode-se dividir o problema em três etapas:
1 - Somatório dos palitos pertencentes a cada linha da figura.
2 - Somatório dos palitos entre a linhas da figura 
3 - Resultado é a soma das duas primeiras etapas

1) Quantidade de palitos na última linha é igual a função teto(independente da fração arredonda-se para cima) do total de triângulos dividido por 2.
Pode-se perceber esse fato por analogia: última linha da figura possui 7 triângulos e 4 palitos( 7/2=3,5 = 4)
Na penúltima existem 5 triângulos e 3 palitos(5/2 = 2,5 = 3)

Aplicando-se essa lógica teremos, na última linha, 1001/2 = 500,5 = 501 palitos.
O número de palitos em cada linha é diminuido de 1 a cada linha acima, logo temos uma PA de razão -1.
Ex: Na figura: última linha tem 4 palitos, penúltima tem 3, etc...

Para acharmos a quantidade de palitos de todas as linha temos que somar todos os palitos de cada linha.
Com isso temos que calcular a quantidade de linhas.
An = A1 + (n-1) x r
1 = 501 + ( n-1) x -1
n = 501

Agora faremos a soma dos palitos de todas as linhas:
Sn = ((An + A1) x n)/2
Sn = ((1+501) x 501)/2
Sn = 125.751 = Total de palitos nas linhas


2) Com um olhar mais atento podemos perceber que o número de palitos entre as linhas é igual ao dobro da linha imediatamente abaixo.
Podemos deduzir então que o número de palitos entre linha é igual ao dobro dos palitos pertencentas às linhas.

Logo, se temos 125.751 palitos nas linhas, teremos 251.502 palitos entre linhas


3) 125.751 + 251.502 = 377.253