A solução positiva da equação quadrática x² - nx = 1, em que...
A solução positiva da equação quadrática x² - nx = 1, em que ݊n é um número inteiro positivo, é conhecida na matemática como número metálico. Considerando essa informação, julgue o item.
Quanto maior for ݊, menor será o número metálico.
Examinador com muita raiva nessa hora:
..._____________
√1+√1 + √1 +.... é infinito, portanto podemos dizer que é igual a X.
_______
Observe, que √1+ se repete infinitamente, portanto pode ser substituída por uma valor X = √ 1 + X
.._____
√ 1 + x = X
..._____
(√ 1 + x) ² = (X)²
Ao transformar em uma equação posso elevar os dois lados ao quadrado para simplificar a Raiz da esquerda.
1 + X = X²
- X² + X + 1 = 0
Observe que virou uma equação de segundo grau.
Basta você resolver usando Baskara.
..........................._________
X = - b (+ ou -) √ b² - 4.a.c
2.a
.................__________
X = - 1 +/- √ 1² - 4.(-1).1
.................2.(-1)
X = -1 + √5
..........- 2
X = -1 + 2,236
............- 2
X = 0, 618 (desconsideramos esse valor, pois o número metálico precisa de um valor positivo).
X = -1 - √5
........- 2
X = -1 - 2,236
............- 2
X = - 3,236
...........- 2
X = 1,618 (Número de ouro da natureza)
Agora vamos para exercício que foi pedido na questão:
Basta você pegar a equação e colocar um número maior do que 1 como sendo o número "n" para ver se aumenta ou diminui.
- X² + nX + 1 = 0 (-1)
X² - nX - 1 = 0 -------------------> vou dizer que n = 2 (escolhi aleatoriamente)
......................._____________
X = - (-2) +/- √ (-2)² - 4.1.(-1)
.......................2.1
X = 4 + √8
2
X = 4 + 2,82
...........2
X = 4,82/2 ----> X = 2,414
( Podemos concluir que quanto maior for "n", maior será o número metálico)
Eu usei a calculadora obviamente para as raízes em questão, mas você pode comparar as duas sem resolver as raízes.
Não é tão difícil, sabendo a formula sai rápido.
Numero metálico é igual n+ √4+n² dividido para 2.
Vamos exemplificar:
6 + √4+6²/2=3 +√20
10+ √4+10²/2=5+ √52
Agora interpretando essas informações. A raiz quadrada 20 é menor que a raiz quadrada de 52, então quanto MAIOR for o numero, MAIOR será o seu resultado. Gabarito errado.
Eu nem sabia que existia tal número chamado metálico... O importante é continuar a nadar.
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