Considerando essa situação hipotética, julgue o item a segui...

Igualei f(x) = g(x) e encontrei x^3-75x^2+1750x-11000=0, o problema é que não consigo encontrar as 3 raizes. Se alguém puder ajudar.

No grafico percebe-se que g(x) é uma parabula com a concavidade voltada para cima e f(x) deve ter um formato de S. Como f(0)=42000 e vai para f(11) = 50316 e g(0)=53000 e volta para 49810 em algum momento seram iguais entre 49810 e 50316.

Essa questão é mais simples do que parece. Perceba que temos dois limites, x = 0 e x = 11. Além disso, é falado os valores f(11) e g(11), portanto basta calcular os valores do outro lado do limite que seriam o f(0) e o g(0) e observar o comportamento da curva.

Calculando o f(0) e o g(0), teremos os seguintes dados:

f(0) = 42000 ; f(11) = 50316

g(0) = 53000; g(11) = 49810

Note que a curva F ela cresce no intervalo de 0 a 11 enquanto a função G ela decrescer.

Com isso, obrigatoriamente a curva F e G se cruzam e portanto há um ponto em que f(x) = g(x) no intervalo de 0 a 11.

Eu vejo um problema nessa questão. Notem que no enunciado diz que x=0,1,2..., ao meu ver isso dá a entender que x teria somente números naturais. Se considerarmos os números naturais entre 0 e 11 a questão estaria errada. Caso contrário, é de acordo com a resposta do Luiz Eduardo.

x₀ = 10

Gabarito: Certo.

É uma questão um pouco mais complicada, pois é preciso conhecer o Teorema de Bolzano. Tal teorema estabelece que se uma função "g" é contínua e g(a)(g) < 0, então há uma raiz que pertence ao intervalo [a, b].

Igualando as duas equações dadas no enunciado:

x³ - 65x² + 1350x + 42.000 = 10x² - 400x + 53.000

O que resulta em: x³ - 75x² + 1750x = 11.000.

Vamos chamar essa função de D(x).

D(x): x³ - 75x² + 1750x - 11.000 = 0.

Se X = 0, a função retorna -11.000.

Se x = 11, a função retorna 506.

Logo, pelo Teorema de Bolzano:

D(0) * D(11) = -11.000 x 506. Isso é menor que 0? Sim. Então, como D(0) * D(11) < 0, podemos dizer que há uma raiz que pertence ao intervalo [0,11].

Bons estudos!