Numa urna, observam-se 5 bolas brancas e 8 bolas pretas. Del...

Gabarito D

Probabilidade=Nºcasos favoráveis/Nº casos totais

N = 13 bolas (5 bolas brancas e 8 bolas pretas)

Nº casos totais: de quantas maneiras consigo escolher 7 bolas dentro de um total de 13 ?

Farei combinação C(13,7) para descobrir, pois a ordem não importa.

C(13,7) = [13*12*11*10*9*8]/{6*5*4*3*2*1] = 1716 maneiras de se escolher as 7 bolas.

Nº casos favoráveis: de quantas maneiras consigo escolher 3 BOLAS BRANCAS E 4 bolas pretas?

Antes de tudo, percebam o "E", que indica multiplicação.

C(5,3) * C(8,4) ---> Farei a quantidade de maneiras de se escolher 3 bolas brancas de um total de 5 MULTIPLICADO pelo número de maneiras de se escolher 4 bolas pretas de um total de 8.

C(5,3) = (5*4*3)/(3*2*1) = 10

C(8,4) = (8*7*6*5)/(4*3*2*1) = 70

C(5,3) * C(8,4) = 10*70 = 700 maneiras de se retirar 7 bolas das 13 e vir 3 brancas e 4 pretas.

Probabilidade(retirar exatamente 3 brancas) = 700/1716 = 0,4079

Trata-se de uma distribuição hipergeométrica.

Nesse caso, basta multiplicar o produto da combinação do número de sucessos pelo produto da combinação do número de fracassos e dividir esse resultado pelo produto da combinação de todos os casos possíveis.

Assim:

( CS,s . CF,f) / (CN,n)

Em que C significa combinação; S, o número de sucessos totais; s, o número de sucessos desejados; F, o número de fracassos totais; f, o número de fracassos desejados; N, o número de elementos totais; n, o número total de elementos que serão escolhidos.

Logo:

(C5,3 . C8,4) / (C13,7)

C5,3 ----- Temos 5 bolas brancas (número de sucessos totais) e desejamos escolher 3 bolas brancas(número de sucessos desejados)

C8,4 ----- Temos 8 bolas pretas (número de fracassos totais) e desejamos escolher 4 bolas pretas (número total de fracasso desejado)

C13,7 --- Temos 13 elementos totais e desejamos escolher 7 elementos desse total

Realizando a operação:

(C5,3 . C8,4) / (C13,7)

(10 . 70) / 1716

700/1716

0,4079

Gabarito: letra D.

Gab: D

Sinto mais segurança fazendo dessa forma:

13 bolas ao todo, sendo:

5 B (brancas)

8 P (pretas)

7 bolas retiradas simultaneamente:

1º B, 2º B, 3º B, 1º P, 2º P, 3º P, 4º P

Probabilidades das bolas brancas:

1ºB = 5/13

2ºB = 4/12

3ºB = 3/11

Probabilidade das bolas pretas:

1ºP = 8/10

2ºP = 7/9

3ºP = 6/8

4ºP = 5/7

Agora multiplicamos todas essas probabilidades acima:

(I) 5/13 x 4/12 x 3/11 x 8/10 x 7/9 x 6/8 x 5/7

A conta acima nos dá a probabilidade de encontrarmos as bolas em uma ordem exata de retirada, ou seja, BBBPPPP. Entretanto, é possível, por exemplo, retirarmos em ordens diferentes, tal como BPBPBPP. Como resolver isso? Permutação com repetição. Quantos elementos temos ao todo? 7, pois a retirada é de 7 bolas. Quantas vezes os elementos repetidos aparecem? O B repete 3 vezes e o P repete 4 vezes. Nesse caso, basta fazer a divisão na forma de fatorial:

(II) 7! / (3! x 4!)

Por fim, basta multiplicar (I) por (II)

5/13 x 4/12 x 3/11 x 8/10 x 7/9 x 6/8 x 5/7 x 7!/(3! x 4!)

O resultado dessa multiplicação será aproximadamente 0,4079

P = Q/T

Quero (branca) C (5,3) . (preta) C (8,4) / ( tenho ) C (13,7)

5.4.3 / 3.2.1 = 10

x

8..6.5.4 / 1.2.3.4 = 70

/

13.12.11.10.9.8.7 / 1.2.3.4.5.6.7 = 1716

70 / 1716 = 0,407924079

Gente, pq na combinação das bolas pretas há uma combinação de (8,4) to boiando