Uma senha formada por três letras distintas de nosso alfabet...

Bom, temos que ter em mente as REGRAS impostas pela questão!
1. Senha formada por 3 letras distintas;
2. Senha formada por EXATAMENTE 2 letras em comum das palavras ARI, RIO e RUA;
3. Nenhuma das letras ocupa a mesma posição daquela ocupada nas palavras.
 
Vamos botar o ?cocuruto? para trabalhar!
=> a letra R aparece nas 3 palavras. Será que ela faz parte da senha? Se pensarmos que a letra R não fará parte da senha, teríamos as letras A e I (da palavra ARI), I e O (da palavra RIO) e U e A (da palavra RUA) como letras da senhas. São 4 letras e a questão fala em apenas 3 (regra 1). Então, obrigatoriamente, a letra R fará parte da senha! E a posição dela deve ser __ __ R (regra 3).
=> Deduzindo isso, também poderemos concluir que as letras A e I NÃO PODEM ESTAR JUNTAS na senha, ok? Olhem para a palavra ARI. Como só podemos ter na 2 letras de cada palavra (regra 2), ou teremos A ou teremos E, correto? Assim:
=> letra A na senha => teríamos ARI, RIO e RUA => Já sabemos a posição da letra R. A letra A já ocupou, nas palavras, a 1^a e a 3^aposição. Só sobrou a 2^a posição. A letra O só não pode ser a 3^a posição. A senha ficou assim:
O A R
 
=> letra I na senha => teríamos ARI, RIO e RUA => Já sabemos a posição da letra R. A letra I já ocupou, nas palavras, a 1^a e a 2^a posição. Só sobrou a 3^a posição.
Epa, PH! Aí já tem a letra R!!!
Perfeito, companheiro! Por este motivo, a letra I  NÃO fará parte da senha!
 
Assim, a única senha possível é O A R. Desse modo, a 1^a letra será a letra O.
 
Gabarito: letra D
 
Fonte: EuVouPassar

 Acredito que na parte que o colega acima citou que a letra I ja tenha ocupado a primeira e a segunda posição nas palavras, ele tenha se equivocado, pois nas palavras ARI e RIO onde ela aparece, ocupa a terceira e segunda posição respectivamente.
 Dito isto, conforme já muito bem explicado pelo colega, a terceira posição já está ocupada pela letra R, e a segunda pela letra A, sobrando então as letras I e O para ocupar a  primeira posição .
Como a regra diz que somente duas letras podem ser comuns às palavras, a letra I não pode ser a escolhida, senão repetiria as 3 letras da palavra ARI, logo a letra correta e necessária para compor a senha, é a letra O.
Resposta correta letra D.
Não sei se fui muito clara, mas consegui enxergar dessa maneira.

LETRA D - "O"
1. Senha formada por três letras distintas
2. Possui exatamente duas letras em comum com cada uma das seguintes palavras: ARI, RIO e RUA.
3. Em nenhum dos três casos uma das letras em comum ocupa a mesma posição na palavra e na senha.

Logo as senhas poderão ser composta pelas letras: R - A - O, cuja ordenação será: 
R - Não pode aparecer na 1ª e nem na 2ª posição, portanto:       R
A - Não pode aparecer na 1ª e nem na última posição, portanto:    A R
O - Não pode aparecer na última posição, portanto: O A R

Portanto a primeira letra dessa senha é: O

Poderia ser a combinação de R - I - U, porém não há um arranjo entre elas que satisfaça a condição 3.

Não consigo  entender! Será que alguém pode me explicar.
Por que a senha não pode ser IAU ou IOR, não consigo entender o porquê que a letra R tem que ser a última.
Por favor, alguém me ajude!!!!!!

Informações da questão:
Senha com 3 letras distintas ___ ___ ___
Senha precisa conter necessariamente duas letras em comum com cada uma das palavras ARI RIO RUA
Em nenhum dos casos a letra ocupa a mesma posição na palavra e na senha

Respondendo a colega Marcela: 
A letra R já ocupou as posições 1 e 2, logo ela só poderá estar na posição 3, pois em nenhum dos casos a letra ocupa a mesma posição na palavra e na senha
ARI - R na 2 posição
RIO e RUA - R na 1 posição

Porque não pode ser IAU? Porque a senha tem que ter duas letras em comum com cada uma das 3 palavras dadas na questão e não em comum com apenas uma delas. Nesse caso IAU só tem uma letra (I) em comum com a palavra RIO.
O mesmo ocorre com IOR, que só tem uma letra em comum com a palavra RUA.
Portanto a senha tem que ser:
R na ultima posição
e as outras letras tem que combinar de forma que siga as orientações da questão
Logo, só será possível OAR
Espero ter ajudado!