Para a viga indicada, a seguir, cuja seção transversal é um ...

A questão é um exercício prático de cálculo de tensões máximas de tração e compressão. A posição dessas tensões normais máximas será a extremidade da seção transversal, a depender do sinal do momento fletor. Se for positivo, a extremidade superior sofrerá compressão e a inferior sofrerá tração. Caso o momento fletor seja negativo, a relação se inverte. A linha que separa as regiões a sofrerem compressão e tração é chamada de linha neutra, representada pela letra x no esquema da Figura 1. Observe que c1 e c2 representam a distância entre a linha neutra e as máximas tensões normais. 

Figura 1: Relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das tensões

normais: (a) momento fletor positivo e (b) momento fletor negativo.

Essas tensões máximas são obtidas pelas seguintes relações matemáticas:

Em que M é o valor do momento fletor máximo e I é o momento de inércia da seção transversal. Como o exercício já nos dá a posição da linha neutra em relação à base (ycg = 212,5), sabemos os valores de c2 e c1:

c2 = 212,5 mm = 0,2125m

c1 = 300 + 25 - 212,5 = 112,5 mm = 0,1125m

O momento de inércia da seção será calculado pelo somatório da parcela de cada forma plana que compõe o perfil. 

Em que Ix é o momento de inércia da forma plana, A sua área e dy a distância de seu centro de massa ao centróide do perfil, posição de referência para o cálculo do momento de inércia.

dy1 = 325 - 12,5 - 212,5 = 100mm

dy2 = 212,5 - 150 = 62,5mm

Dessa forma, o momento de inércia de cada retângulo será calculado pela fórmula:

Ix = bh³/12

I1 = 150 x 25³ /12 = 195.312,5 mm4

I2 = 20 x 300³ / 12 = 45.000.000 mm4

Assim, o Ix total:

Ix = I1 + A1*dy1² + I2 + A2*dy2²

Ix = 195.312,5 + 150*25*100² + 45.000.000 + 300*20*62,5²

Ix = 106.132.812,5 mm4

Ix = 0,000106 m4

Para encontrar o valor do momento máximo, serão necessários os cálculos de análise estrutural, começando pelo cálculo das reações de apoio. Repare que haverá uma reação de apoio horizontal (HA) no apoio fixo e duas verticais, uma no apoio fixo (VA) e outra no apoio móvel (VB).

Calculando o equilíbrio de forças horizontais:

∑Fx=0

HB = 0

Calculando o equilíbrio de forças verticais::

∑Fy=0

VA + VB - 10*3 - 15 = 0

VA + VB = 45

Calculando o equilíbrio de momento fletor no ponto A, convencionando-se para todas as forças que promovem movimento no sentido horário, o sinal negativo, e todos aqueles momentos no sentido anti horário como positivos. Aqui, o momento será obtido pela multiplicação da força pela distância ao ponto A, sendo, no caso da força distribuída, considerado o ponto de aplicação como o ponto médio: 

∑MA=0

-10*3*(1+1,5) + VB*(1+3+1) - 15*(1+3+1+1,5)= 0

-30*2,5 + VB*5 - 15*6,5 = 0

VB = (75 + 97,5)/5

VB = 34,5 kN

Retornando ao resultado anterior:

VA + VB = 45

VA + 34,5 = 45

VA = 10,5 kN

Tendo em mãos agora todas as forças e reações atuantes, podemos construir o diagrama de momento fletor, calculando o momento de cada seção, limitadas a cada ponto em que haja descontinuidade. Um ponto importante é que a convenção aqui é diferente, conforme  o quadro da Figura 2:

Figura 2: convenção de sinais para traçado do diagrama de momento fletor

Seção 1: 0 ≤ x ≤ 1

M (X) = VA*x

M (0) = 0

M (1) = VA*1 = 10,5 kNm

Seção 2: 1 < x ≤ 4

M (X) = VA*x - 10*(x-1)*(x-1)/2 = 10,5*x - 5x² + 10x - 5 = - 5x² + 20,5x - 5

M (4) = VA*4 - 10*3*1,5

M (4) = 42 - 45

M (4) = - 3 kNm

Seção 3: 4 < x ≤ 5

M (X) = VA*x - 10*3*(x-2,5)/2

M (5) = VA*5 - 10*3*2,5

M (5) = 52,5 - 75

M (5) = - 22,5 kNm

Seção 4: 5 < x ≤ 6,5

M (X) = VA*x - 10*3*(x-2,5)/2 + VB*(x-5)

M (6,5) = VAx6,5 - 10x3x4 + VBx1,5

M (6,5) = 68,25 - 120 + 51,75

M (6,5) = 0

Repare que todas as seções serão delimitadas por retas, com exceção da seção 2 que será definida por uma parábola, por haver uma função de segundo grau. O momento fletor máximo será o máximo da função:

M(x) = -5x² + 20,5x - 5

x máximo = -b/2a = -20,5/-10 = 2,05

M máximo = -5(2,05)² + 20,5(2,05) - 5 = 16 kNm

Tem-se então o seguinte diagrama:

Figura 3: Diagrama de momento fletor

Agora em relação às seções, retornamos às equações:

Tomando o máximo momento fletor, de 16 kNm, tracionando as fibras inferiores e comprimindo as superiores, temos:

Por fim, conclui-se que as tensões máximas de tração e compressão são, respectivamente, 32,1 MPa e 17,0 MPa, sendo a alternativa D a resposta para a questão.

Gabarito do Professor: Alternativa D.

FONTES: HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. 10ª ed., São Paulo: Pearson Brasil, 2005.