Considerando uma função de produção descrita porY = K1/2 L1/...

Questão sobre função de produção e custo variável médio no longo-prazo, temas da Teoria da Firma dentro da Microeconomia. Vamos resolver:

Como se trata de longo-prazo, os dois insumos (capital e trabalho) são variáveis e, portanto, comporão o custo variável médio. A firma minimiza seu custo dado um nível de produção quando a inclinação da isoquanta (TMST = - ΔK / ΔL = PMgL / PMgK) coincide com a inclinação da isocusto (ΔK / ΔL = - w / r). Logo temos:

PMgL / PMgK = w / r     (1)

>> w e r já foi fornecido no enunciado, é preciso descobrir os produtos marginais dos fatores de produção derivando a função de produção em relação a cada um deles:

∂Y / ∂K = (1/2)K^-1/2L^1/2

∂Y / ∂L = (1/2)K^1/2L^-1/2

>> Vamos substituir todos os valores na expressão (1):

[(1/2)K^1/2L^-1/2] / [(1/2)K^-1/2L^1/2] = 4 /1
[(1/2) / (1/2)]KL^-1 = 4    (aplicação de propriedades das potências)
KL^-1 = 4
K / L = 4
2 / L = 4      (o valor de K ótimo foi fornecido no enunciado p/ que fosse possível a resolução)
L = 1/2

>> Com K e L em mãos, é preciso descobrir o custo variável total da firma com essas respectivas quantidades de fatores de produção:

CVT = rK + wL
CVT = 1*2 + 4*(1/2)
CVT = 2 + 2
CVT = 4

>> Não acabou, agora é preciso descobrir a quantidade produzida por meio da função de produção:

Y = K^1/2L^1/2
Y = 2^1/2(1/2)^1/2
Y = [2(1/2)]^1/2       (aplicação de propriedades das potências)
Y = 1^1/2
Y = 1

>> Por fim, o custo variável médio dividindo o custo variável total pela quantidade produzida:

CVMe = CVT / Y
CVMe = 4 / 1
CVMe = 4

GABARITO DO PROFESSOR: ERRADO.