Supondo que a possibilidade de um indivíduo se gripar ao lon...

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Q1963723
Estatística Principais distribuições de probabilidade , Distribuição Poisson ,
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SECONT-ES Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - SECONT-ES - Auditor do Estado - Ciências Econômicas |
Q1963723 Estatística
Supondo que a possibilidade de um indivíduo se gripar ao longo do ano siga uma distribuição de Poisson com λ = 5; que, ao indivíduo tomar a vacina, o parâmetro λ caia para 3 em 75% da população; que, por hipótese, a vacina contra a gripe não produza efeito em 25% da população; e considerando que a função de probabilidade P (X = x) = Imagem associada para resolução da questão e que λ é a frequência média, t é o intervalo contínuo e x é a probabilidade de estudo, julgue o seguinte item.
Informações complementares:
e-3 = 0,049 e-5 = 0,0067

Caso o indivíduo tenha tomado vacina durante o ano e, mesmo assim, tenha contraído duas gripes, a probabilidade de a vacina ser benéfica para ele é inferior a 50%.
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Questão sobre a Distribuição de Poisson, uma distribuição de variáveis discretas, tema de Estatística. Vamos analisar a proposição e resolver:

sem vacina --- λ = 5  (ou vacina sem efeito)
com vacina --- λ = 3  (75% da população)

>> A fórmula da Distribuição de Poisson, na verdade, é a seguinte.

P (X = x) = [e-λt(λt)x ] / x!

>> Será necessário utilizar o Teorema de Bayes (probabilidades condicionais) para verificar a probabilidade da vacina ser benéfica - P(A) = 0,75 - dado que ocorreu a contração de duas gripes ao longo do ano - P(B). A fórmula é a seguinte.

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

>> Substituindo os valores na fórmula acima.

P(A|2) = [P(2|A) * P(A)] / P(2)
P(A|2) = [P(2|A) * 0,75] / P(2)                  (I)

>> P(2|A) é a probabilidade de ocorrer dois contágios dado que a vacina é benéfica. Quando é benéfica, λ = 3. Vamos substituir na fórmula de Poisson, lembrando que t é igual a um ano.

P(2|A)
P (X = x) = [e-λt(λt)x ] / x!
P (X = 2) = [e-3(3)2 ] / 2!
P (X = 2) = [0,049*9] / 2
P (X = 2) = 0,441 / 2
P (X = 2) = 0,2205                                  (II)

>> P(2), por sua vez, subdivide-se em duas probabilidades, a de ocorrer dois contágios dado que a vacina é benéfica (que já calculamos acima em II) e a de ocorrer dois contágios dado que a vacina não é benéfica - P(2|C) . Quando não é benéfica, λ = 5. Vamos substituir na fórmula de Poisson.

P(2|C)
P (X = x) = [e-λt(λt)x ] / x!
P (X = 2) = [e-5(5)2 ] / 2!
P (X = 2) = [0,0067*25] / 2
P (X = 2) = 0,1675 / 2
P (X = 2) = 0,08375                                  (III)

>> Por fim, vamos substituir II e III nas informações que faltam em I, considerando P(C) a probabilidade da vacina não ser benéfica que é igual a 0,25 conforme enunciado.

P(A|2) = [P(2|A) * 0,75] / P(2)                  (I)
P(A|2) = (0,2205 * 0,75) / {[P(2|A)*P(A)] + [P(2|C)*P(C)]}
P(A|2) = 0,165375 / [(0,2205*0,75) + (0,08375*0,25)]
P(A|2) = 0,165375 / (0,165375 + 0,0209375)
P(A|2) = 0,165375 / 0,1863125
P(A|2) = 0,8876 ou 88,76%

"Caso o indivíduo tenha tomado vacina durante o ano e, mesmo assim, tenha contraído duas gripes, a probabilidade de a vacina ser benéfica para ele é inferior superior a 50%."

GABARITO DO PROFESSOR: ERRADO.

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Comentários

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  • B: a vacina é benéfica
  • P(B)=0,75

Aqui faremos a aplicação do Teorema de Bayes. A probabilidade em questão poderá ser calculada assim:

P(B|X=2) = P(X=2|B)P(B) /P(X=2|B)P(B)+P(X=2|B¯)P(B¯)

Precisamos então das seguintes probabilidades:

  • P(X=2|B): esta é a probabilidade de contrair duas gripes dado que a vacina é benéfica. Trata-se de P(X=2|λ=3), que calcularemos em breve.
  • P(X=2|B¯): esta é a probabilidade de contrair duas gripes dado que a vacina não surte efeito. É o valor de P(X=2|λ=5), que também calcularemos mais abaixo.
  • P(B¯): probabilidade complementar a P(B), valendo 0,25.

Usando então a função de probabilidade de Poisson, vamos calcular os valores que nos interessam, sempre considerando o período de 1 ano (que seria o t=1

 na fórmula fornecida):

P(X=2|λ=3) = 0,2205

P(X=2|λ=5) = 0,08375

Finalmente:

P(B|X=2)=0,2205⋅0,75 /0,2205⋅0,75+0,08375⋅0,25

P(B|X=2)≈0,165 /0,165+0,02

≈88%

Portanto, a probabilidade de a vacina ser benéfica para o indivíduo que tomou a vacina e contraiu duas gripes no ano é superior a 50%.

Gabarito: ERRADO.

 

Sem fazer uma conta, raciocinei intuitivamente do seguinte modo:

λ é a média da distribuição de Poisson, O valor de λ=3, equivale à média da população dos 75% em que a vacina foi eficaz. Como o indivíduo sorteado contraiu apenas duas vezes a vacina, ele provavelmente foi um puxou a média da população para cima. Portanto, sem fazer contas, por óbvio, λ=2 é superior a 50%.

Caso esteja errado, por favor aponte.

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