Considerando essa situação hipotética e sabendo que o preço ...

Bom, para chegar ao nível da dúvida, precisarei melhorar bastante.

Acredito que temos que equacionar as duas Lagrangianas e derivar parcialmente cada uma delas por x e por y

onde xa, ya, xb e yb sao quantidades, e, Px e Py sao preços (a quantidade para cada agente é diferente, mas o preço é o mesmo):

Para o agente a:

U= ( lnxa + ya)

Px * xa + Py * ya = Px * 5 + Py * 10 => xa + Py * ya - 5 - 10 * Py = 0

k=um multiplicador qlqr

Lagrange = ( lnxa + ya) + k( xa + Py * ya - 5 - 10 * Py)

derivando por x parcialmente e depois por y:

0 = 1/xa + k

0 = 1 + k* Py

portanto: Py = xa

=> Py + Py * ya - 5 - 10 * Py = 0 (equação I)

Para o agente b:

U= ( xb * yb)

Px * xb + Py * yb = Px * 15 + Py * 10 => xb + Py * yb - 15 - 5 * Py = 0

k=um multiplicador qlqr

Lagrange = ( xb * yb) + k( xb + Py * yb - 15 - 5 * Py)

derivando por x parcialmente e depois por y:

0 = yb + k

0 = xb + k* Py

portanto: Py * yb = xb

=> Py * yb + Py * yb - 15 - 5 * Py = 0 (equação II)

Ainda temos uma terceira equação para que a quantidade de y total final seja a mesma da inicial, entao:

ya + yb = 10 + 5 (equação III)

temos tres equacoes e tres icognitas: equação I, equação II e equação III; ya, yb e Py.

Resolvendo chegamos a Py = 25/7

Denotemos por (px, py) os preços de equilíbrio dos bens x e y. Sob as hipóteses da questão, uma condição suficiente para caracterizar um equilíbrio competitivo (ou Walrasiano) é que a razão entre os preços seja igual as taxas marginais de substituição de cada um dos agentes, isto é,

py/px = TMSa = TMSb (1)

onde

TMSa e TMSb são as taxas marginais de substituição do bem y pelo bem x para os agentes a e b respectivamente.

Calculando as taxas de substituição utilizando as funções de utilidade fornecidas, obtemos:

TMSa = Xa e TMSb = Xb/Yb

Usando o fato de que px = 1 (isto é, x é a unidade monetária), segue da equação (1) que

py = Xa e Xb = Xa Yb = py Yb

Para o problema considerado, vale a Lei de Walras que nos diz que "ao preço de equilíbrio, o valor da dotação inicial de cada agente será o mesmo da sua cesta de equilíbrio". Sendo px = 1 e aplicando a Lei de Walras ao agente b, obtemos

px Xb + py Yb = px 15 + py 5 = 15 + 5 py

Em seguida, usando, primeiramente que py = Xa seguido de Xb = py Yb, segue que

-5 Xa + 2 Xb = 15 (2)

Por outro lado, nessa economia de troca, a quantidade de cada bem no início é a mesma no equilíbrio (isto é, bens não se transformam em outros, pois não há produção, e nem são descartados). Aplicando, essa propriedade ao bem x, obtemos

Xa + Xb = 5 + 15 = 20 (3)

De (2) e (3) segue que Xa = 25/7. Como py = Xa segue que

py = 25/7.