Em relação às estruturas de mercado, julgue o próximo item.E...
Em relação às estruturas de mercado, julgue o próximo item.
Em um duopólio de Cournot no qual as funções custos das duas firmas sejam iguais, respectivamente, a C1 (q1) = 20q1 e a C2(q2) = 
e a demanda agregada inversa seja dada por P(Q) = 50 - Q, na qual Q = q1 + q2, a firma 1 produzirá maior quantidade que a firma 2 no equilíbrio.
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Gabarito comentado
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>> Primeiro, vamos resumir as informações do enunciado.
C1 (q1) = 20q1
C2 (q2) = q22
P(Q) = 50 - Q
Q = q1 + q2
>> No modelo de Cournot, cada firma maximiza seu respectivo lucro escolhendo sua quantidade, dada a quantidade produzida pela outra firma. As escolhas são simultâneas. Vamos montar o problema de maximização de lucro da firma 1 a partir da equação de lucro abaixo.
π1 = P(Q)q1 - CT(q1)
π1 = (50 - Q)q1 - 20q1
π1 = [50 - (q1 + q2)]q1 - 20q1
π1 = 50q1 - q12 - q1q2 - 20q1
π1 = - q12 - q1q2 + 30q1
>> Para maximizar lucro da firma 1, devemos derivar a função lucro acima e igualá-la a zero.
∂π1 / ∂q1 = 0
- 2q1 - q2 + 30 = 0
2q1 = - q2 + 30
q1 = (- q2 + 30) / 2 (função de reação da firma 1)
>> Vamos fazer, exatamente, o mesmo procedimento acima para a firma 2.
π2 = P(Q)q2 - CT(q2)
π2 = (50 - Q)q2 - q22
π2 = [50 - (q1 + q2)]q2 - q22
π2 = 50q2 - q22 - q1q2 - q22
π2 = - 2q22 - q1q2 + 50q2
>> Para maximizar lucro da firma 2, devemos derivar a função lucro acima e igualá-la a zero.
∂π2 / ∂q2 = 0
- 4q2 - q1 + 50 = 0
4q2 = - q1 + 50
q2 = (- q1 + 50) / 4 (função de reação da firma 2)
q1 = - 4q2+ 50 (mesma função de reação da firma 2 só que isolando q1 em vez de q2)
>> No equilíbrio de Cournot, as duas funções de reação se igualam, por isso isolamos q1 na função de reação da firma 2.
q1 = q1
(- q2 + 30) / 2 = - 4q2+ 50
- q2 + 30 = (- 4q2+ 50) * 2
- q2 + 30 = - 8q2+ 100
7q2 = 70
q2 = 10
>> Agora, basta encontrarmos q1, substituindo em qualquer das funções.
q1 = - 4q2+ 50
q1 = (- 4*10) + 50
q1 = - 40 + 50
q1 = 10
Portanto, no equilíbrio de Cournot, com a igualdade das funções de reação, as duas firmas produzirão igual quantidade (10).
GABARITO DO PROFESSOR: ERRADO.
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Comentários
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Questão trabalhosa.
Há outro meio de resolvê-la e com menos complexidade que a do professor:
As questões de Cournot, geralmente, pedem a definição do modelo: um modelo de oligopólio no qual as empresas produzem um bem homogêneo, cada uma considera fixo o nível de produção da concorrente e todas decidem simultaneamente a quantidade a ser produzida.
Nessa questão, porém, pede o Equilíbrio de Cournot, que pode ser encontrado a partir da Curva de Reação das Empresas. Assim, teremos que encontrar as Curvas de Reação e igualá-las para descobrir a quantidade no equilíbrio.
Lembrando que:
- Receita Total (RT) = P*Q
- Derivada do Custo = Cmg
- Derivada da RT = Rmg
- Rmg = Cmg (para maximizar o lucro)
- Q = q1 + q2
- P(Q) = 50 - Q
Visto isso, vamos lá:
Firma 1
- RT(1) = P*Q = (50 - Q)*q1 = 50*q1 - Q*q1 = 50*q1 - (q1 + q2)*q1 = 50*q1 - q1*q2 - q1^(2)
- Derivando a RT, temos: Rmg(1) = 50 -q2 - 2q1
- CT(1) = 20q1
- Derivando o CT(1), temos: Cmg(1) = 20
Firma 2
- RT(2) = P*Q = (50 - Q)*q1 = 50*q2 - Q*q2 = 50*q2 - (q1 + q2)*q2 = 50*q2 - q1*q2 - q2^(2)
- Derivando a RT, temos: Rmg(2) = 50 - q1 - 2q2
- CT(2) = q2(^2)
- Derivando o CT(2), temos: Cmg(2) = 2q2
Como dito acima, o lucro das empresas é maximizado quando Rmg = Cmg
Assim, na firma 1:
- 50 - q2 - 2q1 = 20
- (I) - q2 - 2q1 = - 30
Na firma 2:
- 50 - q1 - 2q2 = 2q2, reescrevendo:
- (II) - 4q2 - q1 = - 50
O que significa os sistemas I e II? Representam justamente as Curvas de Reação das Empresas, ou seja, o quanto a firma produz, considerando o nível de produção do concorrente.
Dessa forma, para achar a quantidade de equilíbrio, basta equacionar os sistemas I e II e encontrar q1 e q2.
- (I) - q2 - 2q1 = - 30
- (II) - 4q2 - q1 = - 50
Vamos multiplicar II por - 2, para cortar "2q1"
- +8q2 + 2q1 = +100
- - q2 - 2q1 = - 30
- 7q2 = 70
q2 = 10
q1 = 10
Assim, chegamos a conclusão que as firmas 1 e 2 produziram a mesma quantidade, no equilíbrio de Cournot.
Para quem quiser aprofundar, vale a leitura Robert Pindyck, Daniel Rubinfeld, Microeconomia 8ª Ed.
Bons estudos!
- RT1 = 50q1 - q1^2 -q1*q2
- RMG1 = 50 - 2q1 - q2
- CMG1 = 20
- 50 - 2q1 - q2 = 20
- A ideia é isolar o q1, então:
- 30 -2q1 -q2 = 0
- q1 = 15 -q2/2
- RT2 = 50q2 - q2^2 - q1*q2
- RMG2 = 50 - 2q2 - q1
- CMG2 = 2*q2
- 50 - 2q2 - q1 = 2*q2
- A ideia é isolar o q1, então:
- q1 = 50 - 4q2
- Agora iguale os q1:
- 15 - q2/2 = 50 - 4q2
- 4q2 - q2/2 = 35
- 3,5q2 = 35
- q2 = 10
- q1 = 15 - 10/2
- q1 = 10
- Então as duas firmas produzirão a mesma quantidade no equilíbro.
Vai produzir mais a que tiver menor CMg:
CMg1=20
CMg2=2q
Não sabemos quanto é o q mas sabemos que, no equilíbrio: P=CMg
P(Q)=CMg1+CMg2
50-q=20+2q / 30=3q / q=10
Logo, o CMg2=2.10=20
Se eles têm o mesmo custo marginal, vão acabar produzindo a mesma quantidade.
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