Um biólogo estuda a distribuição de animais de uma determina...

Gabarito: LETRA C.

Por definição, o valor esperado de uma variável aleatória discreta X com função de probabilidade P(X=x)

 é dado por

E(X)=∑xxP(X=x)

Utilizando a função fornecida e sabendo que n é um inteiro não negativo, teremos:

E(X)=∑n⋅n/2^n+1

=∑1/2⋅n^2*2^n

Agora vamos trabalhar com a série

S=∑n^2*2^n(1)

Como em n=0 o termo é nulo, também podemos escrever:

S=∑(n+1)^2*2^n+1

Multiplicando a equação acima por 2:

2S=∑(n+1)^2*2^n(2)

     Subtraindo (1) de (2):

S=∑(n+1)^2−n^2/2^n

=∑2^n/2^n+∑1/2^n(3)

Desmembramos assim em duas outras séries. Vamos tomar da primeira delas e proceder de modo semelhante ao que fizemos acima.

S1=∑2^n/2^n(4)

2S1=∑2(n+1)/2^n(5)

Fazendo (5) - (4):

S1=2∑1/2^n

Voltando a (3):

S=3∑1/2^n

Essa é uma série geométrica com razão 1/2.

S=3⋅1/1−1/2=6

Por fim, voltando na expressão de E(X):

E(X)=1/2⋅6=3

O número médio de animais da espécie estudada por quadrado de lado 100m é igual a 3.