Uma lavanderia adquiriu 50 máquinas de lavar novas. O prazo...
Uma lavanderia adquiriu 50 máquinas de lavar novas. O prazo médio de duração de cada máquina de lavar, especificada pelo fabricante, é de 10 anos, com distribuição normal e desvio-padrão de 3 anos. Depois do prazo médio de duração espera-se que as máquinas de lavar comecem a apresentar problemas.
A tabela abaixo apresenta parte dos valores da distribuição normal padrão Z, N(0, 1), tal que p = P(0 < Z < Zc ).
A quantidade de máquinas de lavar que pode apresentar problemas depois de 7 anos está entre:
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A probabilidade de que uma máquina falhe ("apresente problemas") após 7 anos de uso é dada por p = P(0 ≤ X ≤ 7). Primeiramente, padronizamos a variável aleatória X, definindo Z = (X - 10) / 3. Desta forma podemos escrever p = P(0 ≤ X ≤ 7) = P(-10 / 3 ≤ (X - 10) / 3 ≤ (7 - 10) / 3) = P( -10 / 3 ≤ Z ≤ -1). Note que p = P( -10 / 3 ≤ Z ≤ -1) = P(-10 / 3 ≤ Z ≤ 0) + P(0 < Z ≤ -1) ≈ 0,5 + 0,341 = 0,841, onde 0,341 ≈ 0,34131245 foi retirado da tabela fornecida (Zc = 1) e usamos a aproximação P(-10 / 3 ≤ Z ≤ 0) ≈ 0,5.
Em seguida, sendo que temos 50 máquinas, as quais supomos que falhem de modo independente, podemos dizer que o número de máquinas que apresentaram problemas dentro de 7 anos (N) tem uma distribuição binomial com parâmetros n = 50 e p = 0,841, isto é, N ~ Bin(50, 0,841).
O número médio de falhas é dado por E(N) = n · p = 50 · 0,841 = 42,05. Portanto esperamos que entre 42 e 43 máquinas apresentem problemas em média.
Resposta: 42 e 43
Normalizando a distribuição normal:
Z= (x- média) / desvio padrão
Z= 7-10/3
z= -1 (faz sentido ser negativo, pois o 7 está do lado esquerdo da média 10 da curva gaussiana)
Olhando o Z= 1/-1 na tabela fornecida, acha-se 0,341.
Um detalhe importante: a notação da tabela "p = P(0 < Z < Zc )." nos permite concluir que NÃO se trata de uma tabela de distribuição acumulada, mas a partir da média.
Observe que para responder a questão queremos a probabilidade correspondente à toda área da curva à direita do valor de Z.
Lembrando que achamos Z=0,341. De Z até a média estão contidas 34,1% das observações. Somando com os 50% restantes do outro lado da curva, temos como resultado 84,1% das observações.
50*0,841 = 42,05
Letra E
P(X>7)=P(Z>−1)
P(X>7)=P(Z>0)+P(−1≤Z≤0)
P(X>7)=P(Z>0)+P(0≤Z≤1)
P(X>7)=0,5+0,341435
P(X>7)=0,841435
Como foram consideradas 50 máquinas, então a quantidade de máquinas de lavar que pode apresentar problemas depois de 7 anos será
Q=50⋅0,841435=42,07175
máquinas
ou seja, um número entre 42 e 43.
Gabarito: letra E
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