Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, E(X) e E(Y) suas espe...

A alternativa correta é a C - E(X) * E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y).

Vamos entender o tema central da questão: ela aborda conceitos fundamentais de estatística e probabilidade, especificamente relacionados a variáveis aleatórias. Os conceitos principais aqui são expectância (ou esperança matemática), variância e covariância. Estes são conceitos essenciais para entender como variáveis aleatórias se comportam e estão correlacionadas.

A esperança matemática é uma medida de tendência central das distribuições de probabilidade, uma espécie de "média" ponderada dos valores possíveis de uma variável aleatória. A variância mede a dispersão dos valores de uma variável aleatória em torno de sua média. Já a covariância mede o grau de interdependência entre duas variáveis aleatórias.

Justificando a alternativa C:

Para duas variáveis aleatórias X e Y, a relação entre suas esperanças (E), variâncias (Var) e covariância (Cov) pode ser descrita pela fórmula:

E(XY) = E(X)*E(Y) + Cov(X, Y)

Rearranjando esta equação, temos:

E(X) * E(Y) = E(XY) - Cov(X, Y)

Portanto, a alternativa C está correta com base neste princípio estatístico fundamental.

Analisando as alternativas incorretas:

A - E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y): Esta alternativa está incorreta porque a soma das esperanças não se relaciona com a covariância desta forma. A fórmula correta foi mencionada acima.

B - E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y): Usando a propriedade da linearidade da esperança, temos E(3X + 2Y) = 3E(X) + 2E(Y), portanto, a correta seria 3E(X) + 2E(Y), não 9E(X) + 4E(Y).

D - Var(X + 5) = Var(X) + 5: A variância de uma variável aleatória somada a uma constante é simplesmente Var(X), pois a adição de uma constante não altera a variância. A alternativa correta seria Var(X), e não Var(X) + 5.

E - Cov(X, Y) = Var(X) • Var(Y): Esta afirmação está incorreta. A covariância não é o produto das variâncias. A covariância é uma medida diferente e não pode ser expressa desta forma.

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definição de covariância: Cov(x,y) = E[(x-x̄)(y-ȳ)] = E[xy] - E[x]E[y]