Seja x uma amostra aleatória de tamanho 12. Foram então ger...

Trata-se de uma questão sobre estimador de bootstrap da variância. Relembremos como funciona esse procedimento:

I. O pesquisador possui uma certa amostra base de tamanho n cujos dados são X1,...,Xn;

II. O pesquisador usa o estimador de "momentos" (plug-in-estimator) para estimar a mediana dos dados, isto é,

m = (X(n/2) \+ X(n/2+1)) / 2 se n é par ou m = (X((n+1)/2) se n é ímpar;

III. O pesquisador está interessado em encontrar a variância populacional desse estimador da mediana. Para isso ele resolve usar uma aproximação via método de bootstrap.

IV. Uma amostra bootstrap é uma amostra retirada com reposição - também de tamanho n - da amostra base. O pesquisador decide retirar B amostras bootstrap.

V. Em posse das B amostras bootstrap. o pesquisador calcula as medianas amostrais de cada uma delas, obtendo assim uma sequência de "medianas bootstrap" m*1,..m*B.

VI A variância populacional do estimador da mediana é assintoticamente aproximada pela variância amostral das medianas das amostras bootstrap.

No presente caso, temos n = 12 e B = 10. As "medianas bootstrap", isto é, m*1,..,m*10 são 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7 e 8. Agora podemos calcular a variância amostral S²

S² = 1/(B - 1) · ∑(m*i - M)²

onde M é a média amostral das "medianas bootstrap". No presente caso,

M = 1/B · ∑ m*i = 1/10 · (3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8) = 50/5 = 5

Substituindo em s² obtemos

S² = 1/(10 - 1) · [(3 - 5)² + (4 - 5)² + (4 - 5)² + (4 - 5)² + (4 - 5)² + (5 - 5)² + (5 - 5)² + (6 - 5)² + (7 - 5)² + (8 - 5)²] = (2² + 4 · 1² + 1² + 2² + 3²) / 9 = (4 + 4 + 1 + 4 + 9) / 9 = 22/10 = (18 + 4)/9 = 2,44...

Logo, o desvio padrão é √S² = √2,444... ≈ √2,44

Resposta: √2,44

Comentário: Na verdade essa questão possui um problema: se utilizássemos a variância amostral não corrigida (ou populacional) obteríamos √2,2. Acontece que ambas respostas estão corretas, pois elas convergem assintoticamente para o mesmo resultado quando o número de amostras bootstrap tende ao infinito (B tende ao infinito). Por isso, como duas respostas possíveis estão disponíveis, acredito que caiba recurso para potencial anulação ou duplo gabarito.

Para maiores informações a respeito da versão corrigida veja Casella e Berger, Inferência Estatística e para a versão não corrigida consulte o livro Introduction to mathematical statistics de Hogg, Mckean e Craig ou, ainda, o livro de Mathematical Statistics Jun Shao, por exemplo.

Para estimar o erro padrão da mediana amostral, você pode usar a fórmula do desvio padrão da mediana:

σ(mediana) = σ / raiz de 2nπ

x¯=5.

s≈√2,44

Gabarito: Letra B

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