Sejam X1, X2, ..., Xnuma amostra aleatória de tamanho n da f...

Para calcular a função de distribuição acumulada (CDF) de X(n), o máximo de uma amostra aleatória de tamanho n, em um ponto y, você pode usar o fato de que X(n) é o máximo de nn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com CDF F(x).

A probabilidade de que X(n)≤y é a probabilidade de que todos os nn elementos da amostra sejam menores ou iguais a y. Como as amostras são independentes, essa probabilidade é o produto das probabilidades individuais. Portanto, a CDF de X(n) em y é dada por:

FX(n)(y)=[F(y)]^n

Onde:

• F(y) é a função de distribuição acumulada das variáveis aleatórias individuais.
• n é o tamanho da amostra.

Isso assume que as variáveis aleatórias são independentes e identicamente distribuídas.

Justificativa: Se X = max{X, X, ..., X}, então X ≤ x implica que 

X1≤x,X2≤x,…,Xn≤x.

Desse modo,

P(X(n)≤x)=P((X1≤x)∩(X2≤x)∩⋯∩(Xn≤x)).

Como os elementos da amostra são indepedenentes, então 

P(X(n)≤x)=P((X1≤x)∩(X2≤x)∩⋯∩(Xn≤x))

P(X(n)≤x)=P((X1≤x)⋅P(X2≤x)⋯P(Xn≤x)

P(X(n)≤x)=FX1(x)⋅FX2(x)⋯FXn(x)

Como isso,

P(X(n)≤x)=FX1(x)⋅FX2(x)⋯FXn(x)

Resposta: A