A taxa de juros de 3% ao mês tem como equivalente semestral ...

As taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Vamos utilizar a fórmula abaixo:

                                                                     1 + is = (1 + ip)ⁿ

Onde is = taxa ao semestre, ip =taxa no período e n o número de meses.

                                                     1 + is = (1 + 0,03)⁶ → is = 19,40%

Letra D.

Para determinarmos a taxa semestral equivalente a uma taxa mensal de 3%, em juros compostos, devemos calcular:
(1 + i) = (1 + 0,03)⁶ → 1 + i = 1,03⁶ → 1 + i = 1,194 → i = 0,194 = 19,4%
Portanto, letra D.

fazer isso na calculadora científica é fácil, mas qual a forma de fazer isso sem usar calculadora e não ser necessário ficar multiplicando 1,03 x 1,03...?

Só decorando para saber o resultado sem fazer o cálculo.

Uma forma menos pior é pegar um valor inicial de 100.
100 + 3% = 103
103 + 3% = 106,10
106,10 + 3% = 109,28
109,28 + 3% = 112,55
112,25 + 3% = 116,00 (arredondado)
116 + 3% = 119,48

ps: o cálculo de 3% eu divido primeiro o montante por 100 e depois multiplico por 3, ficam mais fácil.

Então pega o mais próximo e corre  pro abraço.