O coeficiente de correlação de Pearson, denotado por ρ, mede...

I. Se a correlação (ρ) entre duas variáveis contínuas X e Y é zero, então pode-se dizer que as variáveis X e Y são independentes.

Errado: Se as variáveis forem independentes, o coeficiente de correlação de Pearson é 0. Entretanto, o contrário não é verdadeiro porque o coeficiente de correlação detecta apenas dependências lineares entre duas variáveis.

Por exemplo, suponha–se que a variável aleatória X é simetricamente distribuída em torno de 0 e que a variável aleatória Y=X2.

Então, Y é completamente determinada por X, de modo que X e Y são perfeitamente dependentes, mas a correlação entre elas é 0. Em outras palavras, as variáveis não são correlacionadas. Entretanto, no caso especial em que X e Y são conjuntamente normais, não correlação é equivalente à independência.

II. Se a correlação (ρ) entre duas variáveis contínuas X e Y é 0,40, então pode-se dizer que a correlação (ρ) entre X e 2Y é 0,8.

Errado: Para responder essa questão vamos precisar da seguinte propriedade da covariância:

Cov(aX+b,cY+d)=a c Cov(X,Y)

Com isso, Cov(X,2Y)=2Cov(X,Y)

III. Se duas variáveis são independentes, então a correlação (ρ) entre elas é igual a zero.

Correto: Se X e Y são independentes, então Cov(X,Y)=0

IV. Mesmo que a correlação (ρ) entre duas variáveis seja diferente de 1 ou -1, é possível que exista uma relação perfeita entre as variáveis.

Correto: O coeficiente de Pearson é apenas uma indicação da relação entre as variáveis, não podendo seu resultado ser tomado como uma verdade absoluta. 

Em relação ao valor do coeficiente de Pearson, um resultado importante é o seguinte:

ρ(X,Y)=1

 ( ρ(X,Y)=−1) se, e somente se, P(Y=aX+b)=1para algum a>0(a<0).b∈R

 ou seja, existe uma grande chance da correlação ser perfeita, dado que a probabilidade de ocorrência de uma relação linear é de 100%.

Gabarito: Letra B