Aponte qual o valor de x para que a seguinte expressão seja ...

Alternativa correta: A - “x” será um número natural.

Tema central da questão: Esta questão envolve a simplificação e resolução de equações exponenciais. É uma aplicação direta das propriedades dos expoentes, que são fundamentais para resolver equações que envolvem potências. Este tipo de questão frequentemente aparece em concursos públicos, pois testa a capacidade do candidato de manipular expressões matemáticas e aplicar regras fundamentais de aritmética.

Resumo teórico: Para resolver uma equação exponencial, é essencial compreender as propriedades dos expoentes. Algumas regras importantes incluem:

• Multiplicação de potências com a mesma base: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
• Divisão de potências com a mesma base: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
• Potência de uma potência: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

No caso em questão, temos a expressão \(3^{2x-2} \cdot 3^{-4x+1} = \frac{1}{27}\). Podemos simplificar usando a regra de multiplicação de potências com a mesma base:

\(3^{2x-2 + (-4x+1)} = \frac{1}{27}\)

Isso simplifica para:

\(3^{-2x-1} = \frac{1}{27}\)

Sabemos que \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\), então podemos igualar os expoentes:

\(-2x - 1 = -3\)

Resolvendo para \(x\), temos:

\(-2x = -3 + 1\)

\(-2x = -2\)

\(x = 1\)

O valor de \(x = 1\) é um número natural, o que justifica a alternativa A como correta.

Análise das alternativas incorretas:

B - “x” será um número real menor que zero: Isso está incorreto, pois encontramos \(x = 1\), que é positivo.

C - “x” será um número inteiro negativo: Também está incorreto, pois o valor encontrado para \(x\) não é negativo.

D - “x” será um número racional negativo: Incorreta, visto que \(x = 1\) é positivo e natural.

E - “x” será um número irracional positivo: Esta está incorreta pois \(x = 1\) é racional e natural.

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