Considerando 𝐴 uma matriz de ordem 3, com det(𝐴)>0, cujo ...

Alternativa Correta: A - negativa.

Para resolver essa questão, precisamos entender alguns conceitos fundamentais de matrizes, determinantes e polinômios característicos.

Matriz de ordem 3: Uma matriz de ordem 3 é uma matriz quadrada com 3 linhas e 3 colunas. A matriz A tem seu determinante diferente de zero (det() > 0), garantindo que ela é invertível.

Polinômio Característico: O polinômio característico de uma matriz é um polinômio que caracteriza os valores próprios (ou autovalores) da matriz. No caso, o polinômio característico é dado por ()=³−3²+³−3².

Portanto, a equação característica é uma equação cúbica em . Os coeficientes desse polinômio estão relacionados com as propriedades da matriz, como traço e determinante.

Determinante da Matriz Inversa: O determinante da matriz inversa (A) é o inverso do determinante da matriz original: det() = 1/det().

Dado que det() = 729 ⋅ det (), podemos substituir o determinante da inversa e obter a equação:

det() = 729 ⋅ (1/det())

Resolvendo essa equação, obtemos:

(det())² = 729

det() = 27 (considerando que det() > 0)

Com isso, podemos substituir o termo do polinômio característico e perceber que a análise dos sinais dos coeficientes faz com que o valor de seja tal que tan() seja um valor negativo. Isso porque as propriedades das funções trigonométricas nos quadrantes nos indicam essa possibilidade.

Análise das Alternativas:

A - Negativa: Correto. A análise do problema e a relação entre os termos do polinômio e as propriedades da matriz indicam que tan() resulta em um valor negativo.

B - Positiva: Incorreto. O exercício nos leva a concluir que tan() não pode ser positiva.

C - Nula: Incorreto. Ter um valor de tangente nulo não faz sentido com a solução da equação.

D - Existente: Incorreto. A questão não é sobre a existência da tangente, mas sobre seu sinal.

Dicas para Interpretação do Enunciado e Alternativas:

- Sempre verifique a relação entre determinantes e polinômios característicos.

- Esteja atento aos sinais dos coeficientes do polinômio e como eles influenciam as propriedades da matriz.

- Lembre-se de que a função tangente tem relações específicas com os quadrantes, o que pode indicar o sinal da função.

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