Determine a quantidade de divisores naturais diferentes de 1...

Alternativa correta: D

Para resolver a questão, precisamos considerar que estamos buscando a quantidade de divisores naturais diferentes de 1 do número 1540. Vamos explorar o passo a passo para entender como chegar à resposta correta.

Primeiramente, precisamos realizar a fatoração do número 1540 em fatores primos. Vamos decompor o número:

1540 é divisível por 2, então:
1540 ÷ 2 = 770
770 é divisível por 2, então:
770 ÷ 2 = 385
385 é divisível por 5, então:
385 ÷ 5 = 77
77 é divisível por 7, então:
77 ÷ 7 = 11
11 é um número primo.

Portanto, a fatoração prima de 1540 é:

1540 = 2² × 5¹ × 7¹ × 11¹

Agora, utilizamos esses fatores para determinar a quantidade total de divisores. A fórmula para encontrar o número de divisores de um número dado seus fatores primos é aumentar cada expoente em 1 e, em seguida, multiplicar os resultados.

Utilizando a fórmula, temos:

(2+1) × (1+1) × (1+1) × (1+1) = 3 × 2 × 2 × 2 = 24

Portanto, o número 1540 possui 24 divisores no total. Porém, a questão pede a quantidade de divisores naturais excluindo o número 1.

Como 1 é um dos divisores, subtraindo 1 de 24, obtemos:

24 - 1 = 23

Logo, o número 1540 tem 23 divisores naturais diferentes de 1. Assim, a alternativa correta é a letra D.

Vamos analisar as alternativas incorretas:

A - 10: Esse valor está incorreto porque a quantidade total de divisores é maior que 10, como calculamos.

B - 13: Esse valor está incorreto pois subestima o número de divisores.

C - 22: Esse valor está próximo, mas ainda incorreto, pois não considerou que há 24 divisores, subtraindo o divisor 1.

E - 24: Esse valor é a contagem total de divisores incluindo o número 1, portanto, não atende ao que a questão pede.

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