Considere o seguinte problema.Uma fábrica do ramo de aditivo...

Tema Central da Questão:

Esta questão aborda a programação linear, que é uma ferramenta matemática utilizada para determinar a melhor alocação de recursos limitados a fim de maximizar ou minimizar uma determinada função objetivo, neste caso, o lucro total da produção de aditivos.

Teoria e Conceitos: A programação linear é amplamente usada em economia e gestão para otimizar processos de produção. Ela se baseia na formulação de modelos matemáticos com restrições lineares e uma função objetivo linear. É essencial entender conceitos como restrições de capacidade, função objetivo e variáveis de decisão. Para mais sobre programação linear, consulte obras como "Introduction to Operations Research" de Hillier e Lieberman.

Justificativa da Alternativa Correta (B):

A alternativa correta é a B - 200 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y. Vamos detalhar o raciocínio:

1. **Função Objetivo**: A empresa quer maximizar o lucro. Assim, a função objetivo é: Lucro = 5X + 11Y, onde X e Y são as quantidades produzidas dos aditivos X e Y, respectivamente.

2. **Restrições**:

• Capacidade de produção diária limitada a 600 litros de aditivo Y.
• Restrição de matéria-prima: X ≤ 1000 e Y ≤ 500.
• Capacidade compartilhada: 2Y + X ≤ 1200, pois Y consome o dobro dos recursos de X.

Dada a restrição 2Y + X ≤ 1200, a produção de 200 litros de X e 500 litros de Y atende a todas as restrições e maximiza o lucro, pois:

• Substituindo os valores: 2(500) + 200 = 1200, que é exatamente a capacidade máxima.
• Lucro calculado: 5(200) + 11(500) = 3200.

Análise das Alternativas Incorretas:

• A - 50 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Não maximiza o lucro, pois é possível produzir mais de X e ainda atender às restrições.
• C - 300 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Viola a restrição de capacidade compartilhada (2(500) + 300 = 1300 > 1200).
• D - 1000 litros do aditivo X e 100 litros do aditivo Y: Subutiliza a capacidade produtiva de Y, não maximizando o lucro.
• E - 1000 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Excede a capacidade compartilhada (2(500) + 1000 = 2000 > 1200).

Estratégias para Interpretação:

Para questões de programação linear, identifique sempre a função objetivo e as restrições. Teste as alternativas contra essas restrições para verificar a viabilidade e calcule a função objetivo para encontrar a máxima ou mínima desejada. Cuidado com pegadinhas que violam restrições ou não maximizam o objetivo.

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Questão muito legal!! Vamos entender os dados que são fornecidos:

Lx = 5; o lucro de produdir 1 unidade de x é 5;

Ly = 11; o lucro de produzir 1 unidade de y é 11; 

A planta produz X e Y;

Se para produzir Y a planta precisa do espaço necessário para produzir 2X, quer dizer que a inclinação da reta é -2;

Há capacidade para produzir Y = 600, limitado a 500, por restrições de matéria prima;

Implicitamente, sabe-se que a produção máxima de X = 1.200, pois é o dobro de Y, limitado a 1.000. 

Perceba que produzir Y é um bom negócio, porque, mesmo que você precise do dobro do espaço que produzir X, o lucro é mais que o dobro! Ly / Lx = 11 / 5 = 2,2.

O melhor dos negócios seria, portanto, produzir 600Y, que daria um lucro de 6.600. Mas não dá pra produzir 600Y, porque não há matéria prima suficiente, como afirma a questão. Só dá pra produzir 500. Dessa forma, há ociosidade de produção de 100Y que segundo os dados dá pra produzir o dobro de X, com essa ociosidade de Y.

Então vamos produzir 200X para preencher a lacuna de produção do Y, mantendo Y na produção máxima.

Sabendo que os lucros dos aditivos X e Y são, respectivamente, 5 e 11 reais, e que a produção do aditivo Y requere o dobro da capacidade produtiva para produzir X. Além disso, ele pode produzir até 600 litros do aditivo Y, se optar por somente ele. Podemos concluir que:

É melhor se dedicar a produzir o aditivo Y (1000*5 = 5000 e 500*11 = 5500)

Logo, jogando com as opções, vamos de 500 litros de aditivo Y (valor de 5500 reais). Como a especialização possibilita 600 litros de Y, os 100 restantes pode deixar para a produção do aditivo X, que trará a produção de 200 litros de X.

Gabarito: b)