Determinado economista, analisando a estrutura de custos de ...
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Gabarito comentado
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CMg = 6x2 – 6x + 20
CF = 400
x = 5
>> O CMg é obtido pela derivada do Custo Total (CT) em relação à quantidade (x), logo para esta questão é preciso fazer o processo inverso do que normalmente se faz e obter o CT a partir do CMg.
CMg = ∂CT / ∂x
6x2 – 6x + 20 = ∂CT / ∂x
>> Pelas regras de derivação básicas aprendidas com o professor de Matemática, percebe-se que CT deve assumir o seguinte formato (basta derivar o CT abaixo pela regra do tombo para verificar que a resultante corresponde ao CMg informado).
CT = 2x3- 3x2 + 20x
>> Ocorre que só isso não seria suficiente para obter o verdadeiro CT, já que a aplicação reversa da derivada omite eventuais valores constantes que possam estar presentes em CT (após a derivada são zerados). Por isso mesmo o enunciado menciona, expressamente, o valor do custo fixo (constante do CT que desaparece na derivação). Então, reformulemos o CT.
CT = 2x3- 3x2 + 20x + 400
>> O Custo Médio (CMe), por sua vez, é obtido pela divisão do CT pela quantidade produzida (x) que, segundo o enunciado, assume o valor de 5 unidades.
CMe = CT / x
CMe = (2x3- 3x2 + 20x + 400) / x
CMe = 2x2- 3x + 20 + (400/x)
CMe = 2(5)2- 3(5) + 20 + (400/5)
CMe = 2(25) - 15 + 20 + 80
CMe = 50 + 85
CMe = 135
Portanto, o custo médio da empresa, quando forem produzidas 5 unidades do produto, é de 135 unidades monetárias.
GABARITO DO PROFESSOR: LETRA E.
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Gabarito E.
O segredo da questão é compreender que, uma vez que o Custo Marginal (CMg) é obtido pela derivação da função de custo total (CT) em relação a quantidade, faz-se necessária a aplicação da integral.
Então , ¨6x^2 – 6x + 20 , com a aplicação da integral fixa 3x^3 + 3x^2+20x. Troca-se o valor de x, que é a produção, na equação, obtêm-se o valor de 275 unidades.
É importante saber que, na derivação, valores constantes não fazem parte do cálculo, logo é necessário somar o custo fixo (CF), que foi dado.
Logo, custo médio é igual ao custo total + custo fixo, divido pelo total produzido.
CMe= (275+400)/5
CMe = 135
Se houve algum erro, avisem.
Abraços!
Só para acrescentar à resposta do colega, eu fiz assim no passo a passo:
- Como temos Cmg(x) = 6x² - 6x + 20
Dá pra pegar a integral do custo marginal, que vai dar o custo variável total:
- integral do Cmg(x) = 3.2x² - 2.3x + 20 vai ficar Cvt(x) = 2x³ - 3x² + 20.x
Para pegar o custo total falta só o custo fixo, que foi dado como 400. Então temos:
- CT(x) = 2x³ - 3x² + 20.x + 400
Agora para achar o custo médio basta dividir tudo pela quantidade a ser produzida:
- CMe(x) = (2x³ - 3x² + 20.x + 400) / x portanto CMe(x)= 2x² - 3x + 20 + 400/x
Agora é continha de padaria. Como foi dado que x=5, o custo médio fica:
- CMe(5)= 2.5² - 3.5 + 20 + 400/5
- Cme(5)= 135
Alternativa E
Quando você deriva o custo total para pegar o custo marginal, o custo fixo sempre zera, então ao fazer a integral do cmg para voltar ao custo total, você precisa adicionar o custo fixo na equação novamente, caso contrário o que vai aparecer é só a parte de custos variáveis. Caso alguém tenha essa dúvida, tá aí. Bons estudos.
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