Acerca da transformada discreta de Fourier (DFT – discrete F...

A alternativa correta é C - certo.

Vamos entender por que essa alternativa é a correta discutindo o tema central da questão: a Transformada Discreta de Fourier (DFT) e a Transformada Rápida de Fourier (FFT).

A Transformada Discreta de Fourier é uma ferramenta matemática utilizada para transformar um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência. Isso é crucial em diversas aplicações de engenharia, como processamento de sinais, análise de espectro e comunicações.

No entanto, calcular a DFT diretamente é computacionalmente caro, especialmente para sinais com um grande número de amostras. A complexidade computacional da DFT é O(N²), onde N é o número de amostras.

É nesse ponto que a Transformada Rápida de Fourier (FFT) se destaca. A FFT é um algoritmo eficiente para calcular a DFT, reduzindo significativamente o tempo de processamento. A complexidade computacional da FFT é O(N log N), o que representa uma melhoria significativa sobre o cálculo direto da DFT.

Na questão em análise, foi afirmado que a complexidade da FFT para um sinal com N = 2ⁿ amostras é N/n vezes menor que a da DFT. Vamos verificar isso:

• A complexidade da DFT é N².
• A complexidade da FFT é N log N.

Comparando as complexidades:

Razão entre as complexidades: \(\frac{N²}{N \log N} = \frac{N}{\log N}\)

Portanto, a complexidade da FFT é de fato N/n vezes menor que a da DFT para N = 2ⁿ, confirmando que a afirmação é Certa.

Finalmente, é importante ressaltar que essa diferença de complexidade é a razão pela qual a FFT é amplamente utilizada em aplicações práticas de processamento de sinais.

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DFT  ->  requer N^2 operações

FFT -> requer N log2(N) operações

Se N = 2^n e analisando o número de operações

DFT / FFT = 2^(2n) / (2^n log2(2^n)) = 2^n / (n*log2(2))

Como 2^n = N

DFT / FFT = N / n

CERTO