A figura a seguir mostra, do lado esquerdo, um triângulo eq...

O Triângulo ABC é equilátero, ou seja, possui os 3 lados iguais.

Se analisarmos no polígono P, poderemos calcular o perímetro dos 3 segmentos BA, AC e CB:

No segmento AB temos um triângulo maior que é 2/3 do triângulo menor. Sendo assim podemos concluir que no segmento AB temos um triângulo maior de base 6 cm e um menor de base 3 cm já que esse segmento mede 9 cm no total, se são eqüiláteros, a medida do perímetro AB será os 2 lados do triângulo maior somados aos 2 lados do triângulo menor  (6+6)+(3+3)= 18 cm.

Segmento AC é igual ao segmento BA (18 cm), só inverte a ordem do desenho dos triângulos.

Segmento CA, temos 4 triângulos, cada um logo terá 9/4 = 2,25 cm de base, sendo assim 4 triângulos x 2 lados x 2,25 = 18 cm

A soma dos três segmentos que formam o polígono será 18 + 18 + 18 = 54 cm.

Abraços!

Nem sei se fiz certo, mas só pensei que, se os novos triangulos eram equiláteros e baseado nas medidas laterais do triangulo original, cada lado desse triangulo multiplicou por dois, assim, 9*2*3=54

Como eu consigo saber que a proporção dos triângulos sobre o segmento AB é de 2/3 e 1/3?

Pedro, é que não faz diferença ser 2/3 ou 1/3. Como os triangulos são equiláteros e possuem as mesmas quantidades de lados no perímetro da nova figura, mesmo que você faça 9/2 e multiplique por 8, chegará nos memos 36.

Segmento B/C - Sabemos que o lado tem 9 cm e o segmento divide-se em 5, então 9/5 = 2,25cm. Estes triangulos pequenos também são equiláteros, então seus lados também vão ter 2,25.

Nos segmentos AB e AC, no visual temos que a linha de 9cm se divide em dois triângulos, um com 1/3 do seu tamanho e o outro com 2/3. Aplicando a mesma regra do segmento anterior, chega se aos lados de 3cm e 6cm. Depois é so somar pra encontrar o perímetro.

Acredito que a questão forçou um pouco a barra, faltou informação, mas dá pra resolver.