Sendo para um sistema dinâmico linear oscilatório ωn sua fr...

recomendo aos leitores revisarem a solução da eq. diferencial para um sistema oscilatório subamortecido .

imaginemos o sistema massa-mola cuja equação de movimento é : d²x/dt² + (k/m)x = o ; onde w² = k/m é a frequência natural

quando adicionamos um parâmetro dissipativo (b dx/dt) correspondente ao intervalo mostrado na questão , obtemos uma nova frequência natural dada por :

w' = [ w² - b²/4m²]¹/²; colocando w² em evidência dentro da raiz quadrada :

w' = w [ 1- b²/4m²w²]¹/²

w' = w [ 1 - (b/2mw)²]¹/² ; (b/2mw) =  f ( fator de amortecimento)

w' = w ( 1 - f² ) ¹/²

alternativa "E"

Como se trata de um oscilador harmônico amortecido, a EDO de segunda ordem adquiri a seguinte forma:

dx²/dt² + b dx/dt + Wn² x = 0

Que assume a solução do tipo

x(t) = Ae^{Bt}

dx/dt = AB e^{Bt}

dx²/dt² = B²Ae^{Bt}

substituindo na EDO

(B² + bB + Wn²) x(t) = 0

Resolvendo a equação do segundo grau entre parênteses, temos:

B = [-b +- raiz( b² - 4Wn² ) ] / 2

colocando o 2 no denominador para dentro da raiz e chamando o que esta dentro dela de W, temos:

W² = ( b/2 )² - Wn²

Para ter oscilação amortecida, Wn > b, então a equação fica

W² = Wn² - ( b/2 )² --> colocando em evidência Wn²

W² = Wn² ( 1 - ( b / 2*Wn )² ) --> onde chamaremos b / 2*Wn = f, logo

W = Wn * ( 1 - f² )

Letra E!!