Seja f a função definida por Dentre todos os vetores unitári...

Eis a minha solução:

derivadas parciais de f(x,y) = (y² - y/x , 2xy + 1/x)

y² - y/x --> derivada de f(x,y) em relação à x

2xy + 1/x --> derivada de f(x,y) em relação à y

O gradiente de f(x,y) no ponto (1,2) é (2, 5), logo a derivada direcional no ponto (1,2) é igual:

gradiente de f(1,2).(x1, y1) = (2,5).(x1,y1) = 2x1 + 5y1

Testando as alternativas:

(x1,y1) = (1,0) ---> 2x1 + 5y1 = 2

(x1,y1) = (0,1) ---> 2x1 + 5y1 = 5

(x1,y1) = (3/5,4/5) ---> 2x1 + 5y1 = 26/5

(x1,y1) = (3raiz(34)/34,5raiz(34)/34) ---> 2x1 + 5y1 = 31raiz(34)/34

(x1,y1) = (2raiz(29)/29,5raiz(29)/29) ---> 2x1 + 5y1 = raiz(29)

ALTERNATIVA: E

Sendo o vetor v dado como (u1,u2), u1² + u2² =1

Derivada direcional = (df/dx)*u1 + (df/dy)*u2.

df/dx = d(xy² + y/x + 2)/dx = y² - y/x²,

como x,y = (1,2) >> df/dx = 4 -2 = 2

df/dy = d(xy² + y/x + 2)/dy = 2xy + 1/x,

como x,y = (1,2) >> df/dy = 4 + 1 = 5

Logo, a Derivada direcional em (1,2) = 2u1 +5u2. Como queremos o valor máximo, podemos derivar a expressão e igualar a zero. Já fazendo a substituição u1² + u2² =1 >> u2 = raiz(1-u1²)

derivada de 2u1 + 5*raiz(1-u1²) = 0 >> 2 + 5*(1/2)*(1/raiz(1-u1²))*(-2u1) =0 >>

2 = 5*(1/2)*(1/raiz(1-u1²))*(2u1) >> raiz(1-u1²) = (5/2)*u1 >>

(1-u1²) = (25/4)*u1² >>> u1 = raiz(4/29) = 2/raiz(29), Letra E.

não há necessidade de terminar a conta para achar o u2.

Esta questão acho difícil chutar valor pois na prova não deve ter calculadora para saber quanto raiz(29) é