Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmétic...

Questão moleza.

A vantagem desta questão é que ela é dotada de abstração matemática, ou seja, podemos inventar qualquer progressão aritmética para aplicar no exercício, já que Sn pode ser qualquer progressão aritmética.

Vamos inventar um PA(progressão aritmética) qualquer:

1,2,3,4,5,6,7 - Essa vai ser a minha PA.

Agora vamos escolher algum termo da PA para ser o meu Sn . Eu vou escolher o 4º termo, pois assim consigo "avançar" ou "regredir" na PA, mas você poderia escolher outro, de preferência um que permita você avançar, nesse caso, 3 termos à frente do escolhido. Então S4 = 1+2+3+4 = 10 (soma dos termos até quatro)

Com base nessa escolha, agora podemos descobrir os demais termos:

Sn+1 = S4+1 = S5

S5 = 1+2+3+4+5 = 15.

Sn+2 = S4+2 = S6

S6 = 1+2+3+4+5+6 = 21.

Sn+3 = S4+3 = S7

S7 = 1+2+3+4+5+6+7 = 28.

Agora é só substituir Sn Sn+1 Sn+2 Sn+3 pelos seus valores.

Resolvendo:

28 - 3*21 + 3*15 - 10 o resultado será igual a 0.

Ou seja, não importa a PA que você invente sempre o resultado será igual a 0.

Caso a resposta fosse outra, por exemplo a C, o nosso resultado final teria que ser igual a Sn, no nosso caso, 10. E assim por diante.

GAB. LETRA E

Sn+3-3Sn+2 + 3Sn+1-Sn

-2Sn+1 + 2Sn+1

0

Eu fiz assim:

S1= (a1+a1)*1/2=a1

S2=(a1+a2)*2/2=a1+a2

S3=(a1+a3)*3/2

Lembrando: a2=(a1+a3)/2 ,então, a3=2a2-a1

Voltando, S3=(a1+2a2-a1)*3/2=3a2

S4=(a1+a4)*4/2

a3=(a2+a4)/2

a4=2a3-a2 ,então a4=2(2a2-a1)-a2 , assim, a4=3a2-2a1

Voltando, S4=(a1+3a2-2a1)*4/2= 6a2-2a1

Substituindo na expressão:

6a2-2a1-3(3a2)+3(a1+a2)-a1

6a2-2a1-9a2+3a1+3a2-a1

A expressão = 0.

Sn+1 = Sn + an+1

Sn+1 = Sn + an + r

...

Sn+2 = Sn + an+1 + an+2

Sn+2 = Sn + an + r + an + 2r = Sn + 2an + 3r

Sn+3 = Sn + an+1 + an+2 + an+3

Sn+3 = Sn + an + r + an + 2r + an + 3r = Sn + 3an + 6r

Sn+3 - 3Sn+2 + 3Sn+1 - Sn

Sn + 3an + 6r - 3Sn - 6an - 9r + 3sn + 3an + 3r - Sn

Todos os termos se anulam.... = 0

se n=4 (você pode escolher qualquer numero para n, escolhi 4)

S7 - 3S6 + 3S5 - S4

substitui 7, 6, 5 , 4 na formula da soma do termo geral, voce consegue construir uma expressão onde (a1+an) é o termo comum, especie de "x" de uma equação.

Fórmula Sn=(a1+an).n/2

Aplicacacao da formula + equacao do enunciado:

(a1+an)7/2 - 11(a1+an) + 15(a1+an) - (a1+an)2

7/2 - 11 + 15 - 2

0/2

0