Um sistema de eixos ortogonais no espaço R³ está graduado ...

Integrate[1,{z,0,Divide[\(40)12-4x-2y\(41),3]},{y,0,6-2x},{x,0,3}]

Não precisa de integral nenhuma. Basta encontrar 3 pontos da curva considerando x=0, y=0 depois y=0, z=0 e por último x=0, z=0. A figura resultante é um tetraedro com vértices nos pontos (3,0,0); (0,6,0); (0,0,4). V=1/3.Sb.h --> V=1/3.1/2.3.4.6=12 letra D

Para um engenheiro, é de conhecimento duas formas para se resolver este problema: integral de volume ou produto misto de vetores. Farei os dois.

• Integral de volume.

Temos que parametrizar a equação dada.

Igual-se y e z a zero, temos x=3. Ou seja, o x varia de 0 a 3.

Já igualando z a zero, temos y=6-2x, ou seja, y varia de 0 até a função 6-2x.

Agora, isolando z, temos z=4-2y/3-4x/3.

Ou seja, z varia de 0 até a equação acima.

A integral de volume se dá pela integral tripla de ∫∫∫1dzdydx. Atente-se aos limites de integração para a ordem acima ( primeiro x,y e z). Após isso tudo, encontra-se 12. (Não farei as contas para economizar espaço aqui).

• Produto misto de vetores

Temos que encontrar os pontos que a equação do plano corta em cada eixo.

Para isso, basta zerar as outras duas incógnitas. Observe:

x/3+0/6+0/4=1 ➞x=3. Portanto, o plano corta o eixo dos x no ponto A=(3,0,0).

Mesmo raciocínio segue e encontramos os pontos B=(0,6,0) e C=(0,0,4).

O produto misto dos vetores AB = B-A(-3,6,0) e AC=C-A=(-3,0,4) é igual ao volume de um prisma retangular.

| 1 1 1|

| -3 6 0|➞|72|

| -3 0 4|

Porém, o volume de um tetraedro é 1/6 do volume um prima retangular, logo,

1/6×72=12.

GABARITO D.