Uma empresa fez um investimento inicial, em jan/2016, no va...

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Q1090893 Matemática Financeira
Uma empresa fez um investimento inicial, em jan/2016, no valor de 10 bilhões de reais, a uma determinada taxa anual fixa, no sistema de juros compostos. Exatamente após um ano (jan/2017), retirou 4 bilhões de reais, e um ano depois disso, em jan/2018, resgatou 8 bilhões, zerando sua posição no investimento.
Se nenhum aporte adicional foi realizado nesse período, além do investimento inicial, o valor mais próximo da taxa anual de retorno desse investimento é 
Dado:  21 =4,58
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Eu aprendi a fazer questões de taxa de retorno usando as alternativas. Começamos adotando a taxa do meio, letra C, porque caso não seja ela, vai nos dar um norte para descobrirmos se a taxa é menor ou maior.

Eu testei com a de 10,8% e não deu o resultado 0.

Daí, percebi que o retorno do investimento estava baixo, porque no final o resultado deu 6.767,6, mas a questão disse que ele sacou 8 milhões, zerando o investimento. Logo, o retorno tem que dar igual a 8 bilhões para que a pessoa saque 8 bilhões e dê zero.

Decidi testar com 11,6. Caso não fosse essa taxa, seria 11,2.

Como fiz esse teste:

10 bilhões X 0,116: 1.160 bilhão

10 + 1.160: 11.160 bilhões

11.160 bilhões - 4 bilhões (primeiro saque): 7.160 bilhões

7.160 X 0,0116: 830,5 milhões

7.160+830,5: 7.990,5

Foi o resultado que mais se aproximou de 8 bilhões.

Portanto, gabarito letra E.

10 bilhões de reais x i (taxa de juros) = ?

(? - 4 bilhões) x i (taxa de juros) = 8 bilhões

Substituindo a primeira equação na segunda e simplificando os valores:

? = 10 x i --------> [(10 x i) - 4] x i = 8 -------> 10i^2 - 4i = 8 --------> 10i^2 - 4i - 8 = 0 (caímos numa equação do 2º grau)

Resolvendo a equação:

delta = 336, logo: i= 4 +- raiz de 336/20, fazendo as continhas, temos i = 4 +- 18,33/20 = 1,1165 ou -0,7165

Desconsiderando-se o número negativo, temos 1,1165 (fator de juros).

Subtraindo 1 do fator, temos a porcentagem em valor decimal (0,1165) que é o mesmo que 11,65%.

Resposta: 11,65% - Letra E

Que maldade do examinador. Vamos lá!

Estamos diante de uma capitalização ou descapitalização (Você escolhe)

Capitalização

10 x (1 + i) ^ 2= 4 x (1+i) + 8

Vamos chamar (1+ i)= y

10.y^2 = 4.y + 8

10.Y^2 - 4y - 8 = 0 (Equação do 2º grau)

a= 10 b= -4 c= -8

Delta= b^2 - 4x a x c

Delta= (-4) ^ 2 - 4 x (10) x (-8)

Delta= 336

Observe agora que ele fornece a raiz de 21= 4,58

336 é a mesma coisa de 21 x 16. Logo temos que Raiz de 336= Raiz de 21 x 16

X= -b +/- raíz de Delta/ 2 x a

x'= 4 + (4,58 x 4)/ 20

x'= 4 + 18,32 / 20

x'= 22,32/20 = 1,116

(1+ i)= y

(1+ i)= 1,116

i= 1,116 - 1= 0,116 x 100= 11,6%

Se tiver dúvida, mande mensagem.

Trabalhosa

2016 entra 10 bilhões

2017 sai 4 bilhões

2018 sai 8 bilhões

Lembrando que M=C(1+i)^n

Em 2018 você tem um montante de 10bi(1+i)^2 que é equivalente a 4bi com sua taxa (1+i)^1 mais o restante 8bi.

Em 2017 não podemos afirmar ainda qual o valor que fica, só sabemos que esse restante multiplicado ao (1+i)^1 equivale a 8bi.

Com essas informações já da pra matar a questão.

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