Um triângulo retângulo é tal que seus três lados, ordenados...

Quem decifrar esta, por favor, compartilhe!

Eu encontrei 45, letra B:

Somando (perímetro) os 3 lados --- {x+(x+r)+(x+r+1)}=30 --- 3x+2r+1 --- x=9 e R=1 --- fazendo o cálculo de área (base x altura/2)= 10x9/2=45.

Não entendi como o gabarito é 30 (letra C), tão pouco como chegar neste resultado!

Um triângulo retângulo bastante conhecido é o de lados 5/12/13.

Veja que esse triângulo obedece às exigências do enunciado: a hipotenusa é uma unidade superior ao maior cateto, e o perímetro vale 30.

A área do triângulo é igual à multiplicação dos catetos dividida por 2:

5×12/2 =30

Perímetro = 30

x + x + r + x + r + 1 = 30

(1)3x + 2r + 1 = 30

Um triângulo retângulo deve respeitar o teorema de Pitágoras, então:

(x + r + 1)^2 = x^2 + (x + r)^2

Desenvolvendo, chegamos ao seguinte resultado:

(2)x^2 = 2x + 2r + 1

Descobriu a equação 2? Veja que aqui você tem um pulo do gato para achar a resolução:

Observe que se adicionarmos +r em ambos os lados da equação (2), a segunda parte da equação vai ficar idêntica a primeira equação (1):

(2)x^2 = 2x + 2r + 1

x^2 +r = 2x + 2r + 1 +r

x^2 + r = 3x + 2r + 1

x^2 + r = 30

x^2 + r - 30 = 0

Acha as raízes:

x' = 5

x'' = -6

x não pode ser negativo, então o único valor possível é x = 5

Da primeira equação:

(1)3x + 2r + 1 = 30

3.5 + 2r + 1 =30

2r = 14

r = 7

Calculando a área do triângulo:

A = base.altura/2

x.(x + r)/2

5.(5+7)/2

5.12/2

30

A primeira informação que temos é que o perímetro, que é a soma de todos os lados é igual a 30, então fazemos:

x + x + r + x + r + 1 = 30 => 3x + 2r + 1 = 30 => 3x + 2r = 29 (equação 1)

Usando o teorema de Pitágoras, onde a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, temos:

(x + r + 1)² = (x)² + (x + r)² Obs: Podemos atribuir uma variável a x + r, para facilitar as contas:

--> x + r = a

=> (a + 1)² = x² + a² => a² + 2a + 1 = x² + a² => 2a - x² + 1 = 0

Substituindo a por x + r, temos:

2x + 2r -x² + 1 = 0 => x² - 2x - 2r - 1 = 0 (equação 2)

Agora temos duas equações e duas incógnitas, o que nos leva a montar um sistemas de equações que tem a condição de x (base do triângulo) ser maior que zero, já que um comprimento não pode ter valor nulo nem negativo, ou seja x > 0.

(1) 3x + 2r = 29

(2) x² - 2x - 2r - 1 = 0

Podemos resolver esse sistema pelo "método da soma", pois se somarmos a primeira equação com a segunda, anularemos a incógnita de r, fazendo a soma encontramos:

x² + x - 30 = 0

Δ = b² - 4*a*c => Δ = 1² - 4 * 1 * (-30) => Δ = 1 + 120 => Δ = 121

Usando a Fórmula de Bhaskara temos:

x' = ( - b + √Δ) / 2*a => x' = ( - 1 + 11) / 2*1 => x' = 5

x'' = ( - b + √Δ) / 2*a => x'' = ( - 1 - 11) / 2*1 => x' = -6

Para estabelecer a condição de x > 0, o único valor aceitável para x é 5.

Agora, para encontrar o valor de r, basta substituir o valor de x na equação 1, temos:

3x + 2r = 29 => 3.5 + 2r = 29 => 2r = 14 => r =14/2 => r = 7

Substituindo os valores encontrados temos que os lados são respectivamente, do menor para o maior: ( 5, 12, 13)

Calculando a área do triângulo temos: a = ( b * h) / 2 => a = 5 * 12 / 2 => a = 30.

Resposta: Letra C, pois a área do triângulo é igual a 30.

Bem grande ..... Mas obrigado !